作业帮已知向量a=（sinx,cosx）,b=（cosx,cosx）,f（x）=a•（a+b）．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求f(x)的单调增区间；（3）若函数g(x)=f(x)-k,x属于(0,pai/2).其中k属于R,讨论函数g(X)的零点.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 18:21:02
已知向量a=（sinx,cosx）,b=（cosx,cosx）,f（x）=a•（a+b）．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求f(x)的单调增区间；（3）若函数g(x)=f(x)-k,x属于(0,pai/2).其中k属于R,讨论函数g(X)的零点.
已知向量a=（sinx,cosx）,b=（cosx,cosx）,f（x）=a•（a+b）．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求f(x)的单调增区间；
（3）若函数g(x)=f(x)-k,x属于(0,pai/2).其中k属于R,讨论函数g(X)的零点.
已知向量a=（sinx,cosx）,b=（cosx,cosx）,f（x）=a•（a+b）．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求f(x)的单调增区间；（3）若函数g(x)=f(x)-k,x属于(0,pai/2).其中k属于R,讨论函数g(X)的零点.
f(x)=(sinx,cosx)·(sinx+cosx,2cosx)=sin²x+sinxcosx+2cos²x=0.5(1-cos2x)+0.5sin2x+cos2x+1=0.5sin2x+0.5cos2x+1.5=√2/2sin(2x+π/4)+1.5.
（1）周期为2π/2=π.
（2）当f(x)单调递增时,2kπ-0.5π≤2x+π/4≤2kπ+0.5π,k∈Z.
解得kπ-0.375π≤x≤kπ+0.125π,k∈Z.∴f(x)的单调增区间是[kπ-0.375π,kπ+0.125π],k∈Z.
（3）首先讨论f(x)的值域.在(0,π/2)上存在x=π/8使得f(x)达到最大值√2/2+1.5.
假设f(x)达到最小值,则2x+π/4=2kπ-0.5π,x=kπ-0.375π,k∈Z,在(0,π/2)上无解.
又f(0)=2,f(π/2)=1,∴f(x)在(0,π/2)上的值域为(1,√2/2+1.5].
∴g(x)在(0,π/2)上的值域为(1-k,√2/2+1.5-k].
(i)当1-k≥0,即k≤1时,g(x)无零点；
(ii)当1-k＜0,2-k＞0,即1＜k＜2时,g(x)有一零点；
(iii)当2-k≤0,√2/2+1.5-k＞0,即2≤k＜√2/2+1.5时,g(x)有两零点；
(iv)当k=√2/2+1.5时,g(x)有一零点；
(v)当k＞√2/2+1.5时,g(x)无零点.
以上是全部过程,