康托对角线法证明不可数集合A = 形式为0.a1 a2 a3 a4 的小数,a(n) = 3,4,5,6 或7,且如果n为偶数,an > a(n+1),且如果n为奇数,an < a(n+1).请用康托对角线法证明集合A不可数.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/20 23:55:31
![康托对角线法证明不可数集合A = 形式为0.a1 a2 a3 a4 的小数,a(n) = 3,4,5,6 或7,且如果n为偶数,an > a(n+1),且如果n为奇数,an < a(n+1).请用康托对角线法证明集合A不可数.](/uploads/image/z/7660975-31-5.jpg?t=%E5%BA%B7%E6%89%98%E5%AF%B9%E8%A7%92%E7%BA%BF%E6%B3%95%E8%AF%81%E6%98%8E%E4%B8%8D%E5%8F%AF%E6%95%B0%E9%9B%86%E5%90%88A+%3D+%E5%BD%A2%E5%BC%8F%E4%B8%BA0.a1+a2+a3+a4+%E7%9A%84%E5%B0%8F%E6%95%B0%2Ca%28n%29+%3D+3%2C4%2C5%2C6+%E6%88%967%2C%E4%B8%94%E5%A6%82%E6%9E%9Cn%E4%B8%BA%E5%81%B6%E6%95%B0%2Can+%3E+a%28n%2B1%29%2C%E4%B8%94%E5%A6%82%E6%9E%9Cn%E4%B8%BA%E5%A5%87%E6%95%B0%2Can+%3C+a%28n%2B1%29.%E8%AF%B7%E7%94%A8%E5%BA%B7%E6%89%98%E5%AF%B9%E8%A7%92%E7%BA%BF%E6%B3%95%E8%AF%81%E6%98%8E%E9%9B%86%E5%90%88A%E4%B8%8D%E5%8F%AF%E6%95%B0.)
康托对角线法证明不可数集合A = 形式为0.a1 a2 a3 a4 的小数,a(n) = 3,4,5,6 或7,且如果n为偶数,an > a(n+1),且如果n为奇数,an < a(n+1).请用康托对角线法证明集合A不可数.
康托对角线法证明不可数
集合A = 形式为0.a1 a2 a3 a4 的小数,a(n) = 3,4,5,6 或7,且如果n为偶数,an > a(n+1),且如果n为奇数,an < a(n+1).请用康托对角线法证明集合A不可数.
康托对角线法证明不可数集合A = 形式为0.a1 a2 a3 a4 的小数,a(n) = 3,4,5,6 或7,且如果n为偶数,an > a(n+1),且如果n为奇数,an < a(n+1).请用康托对角线法证明集合A不可数.
对角线法是常用的,至于康托对角线法是个什么法,不清楚……对角线法一般是这么证明的:如果A可数,那么把A列出来(A={A1,A2,...},每个Ai是一个无限小数),那么我们可以找到一个A中的元素x,永远不被列到.对于奇数位,如果An(n)>=4,那么令x(n)=3;如果An(n)=3,令x(n)=4.对于偶数位,总可以取到不等于An(n),3和4的一个数字.这样,x属于A,而且x(n)不等于An(n)所以x不等于任意一个An.完毕.
当然我觉得最直观的证明是这样的:
证明A不可数:首先A包含如此的子集:偶数位为6或7,奇数位为3或4.然后这个子集可以1-1映射到形式为0.0111011101...这样的只有0和1的无穷小数(偶数位如果是6就映到0,如果是7就映成1,奇数位类似),而这相当于二进制的[0,1]区间(事实上比0-1区间还多一些东西,多了一些尾数1循环的东西),后者不可数.因此A不可数.