请教一道初中数学证明题已知:如图,在梯形ABCD中,AB‖CD,CB>CD,E、F分别是AB、CD的中点,且∠A+∠B=90°.求证:EF=½(AB-CD)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/21 05:00:17
![请教一道初中数学证明题已知:如图,在梯形ABCD中,AB‖CD,CB>CD,E、F分别是AB、CD的中点,且∠A+∠B=90°.求证:EF=½(AB-CD)](/uploads/image/z/801677-29-7.jpg?t=%E8%AF%B7%E6%95%99%E4%B8%80%E9%81%93%E5%88%9D%E4%B8%AD%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%AF%81%E6%98%8E%E9%A2%98%E5%B7%B2%E7%9F%A5%EF%BC%9A%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E5%9C%A8%E6%A2%AF%E5%BD%A2ABCD%E4%B8%AD%2CAB%E2%80%96CD%2CCB%EF%BC%9ECD%2CE%E3%80%81F%E5%88%86%E5%88%AB%E6%98%AFAB%E3%80%81CD%E7%9A%84%E4%B8%AD%E7%82%B9%2C%E4%B8%94%E2%88%A0A%2B%E2%88%A0B%3D90%C2%B0.%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9AEF%3D%26frac12%3B%28AB-CD%29)
请教一道初中数学证明题已知:如图,在梯形ABCD中,AB‖CD,CB>CD,E、F分别是AB、CD的中点,且∠A+∠B=90°.求证:EF=½(AB-CD)
请教一道初中数学证明题
已知:如图,在梯形ABCD中,AB‖CD,CB>CD,E、F分别是AB、CD的中点,
且∠A+∠B=90°.求证:EF=½(AB-CD)
请教一道初中数学证明题已知:如图,在梯形ABCD中,AB‖CD,CB>CD,E、F分别是AB、CD的中点,且∠A+∠B=90°.求证:EF=½(AB-CD)
过F作FG平行AD,过F作FH平行BC,
所以角FGE=角A,角FHE=角B
因为角A+角B=90°,所以角FGE+角FHE=90°,所以角GFH=90°.
因为AB平行CD,所以四边形AGFD和四边形BCFH为平行四边形.
所以AG=DF,BH=CF,F为CD中点,所以AG=DF=BH=CF
所以AG+BH=DC,所以GH=AB-CD.
因为E为AB中点,所以AE=BE.
所以EG=AE-AG,HE=BE-BH,所以EG=HE=1/2GH.
而三角形FGH为直角三角形,所以FE=EG=1/2GH=1/2(AB-CD)
这个解法比较适合你,我们老师说楼上那位的方法不适合初中生.
只给思路,自己证。
过F分别作AD、BC的平行线交AB于M,N,由∠A+∠B=90°》》三角形MNF是直角三角形,E是MN中点,且MN=AB-AM-BN=AB-DF-CF=AB-CD。
用直角三角形斜边中线性质证。
反向延长AD,BC交于G
则FG是直角三角形GDC的中线,所以FG=1/2 CD
EG是直角三角形GAB的中线,所以FG=1/2 AB
又角DGF=角GDF=角GAE=角AGE
即角AGF=角AGE,所以E,F,G在一条直线上
所以EF=EG-FG=1/2 (AB-CD)
过点F做AD和BC的平行线,分别交AB于G、H
则AG=DF=BH=FC,角GFH=90度
所以E是GH的中点,所以EF=½GH
所以EF=½(AB-CD)
过点F分别作AD、BC的平行线,分别交AB于点G、H
所以∠FGB=∠A,∠FHA=∠B
因为∠A+∠B=90度,
所以∠FGB+∠FHA=90度,
即∠GFH=90度
三角形GFH为直角三角形
由作图及已知易得:
DFGA、CFHB均为平行四边形
所以,DF=AG,CF=BH
故,GH=AB-(AG+BH)
...
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过点F分别作AD、BC的平行线,分别交AB于点G、H
所以∠FGB=∠A,∠FHA=∠B
因为∠A+∠B=90度,
所以∠FGB+∠FHA=90度,
即∠GFH=90度
三角形GFH为直角三角形
由作图及已知易得:
DFGA、CFHB均为平行四边形
所以,DF=AG,CF=BH
故,GH=AB-(AG+BH)
=AB-CD
又点E、F分别为AB、CD的中点,
易得,E为GH的中点
所以EF为直角三角形GFH斜边上的中线
EF=1/2*GH
=1/2(AB-CD)
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