在等腰三角形ABC中,底角C=72度,圆O过A,B两点且与BC相切与点B,与AC交于点D,连接BD,若AC=4,求BC.(AB不是直径)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/19 21:52:00
![在等腰三角形ABC中,底角C=72度,圆O过A,B两点且与BC相切与点B,与AC交于点D,连接BD,若AC=4,求BC.(AB不是直径)](/uploads/image/z/8349107-59-7.jpg?t=%E5%9C%A8%E7%AD%89%E8%85%B0%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2ABC%E4%B8%AD%2C%E5%BA%95%E8%A7%92C%3D72%E5%BA%A6%2C%E5%9C%86O%E8%BF%87A%2CB%E4%B8%A4%E7%82%B9%E4%B8%94%E4%B8%8EBC%E7%9B%B8%E5%88%87%E4%B8%8E%E7%82%B9B%2C%E4%B8%8EAC%E4%BA%A4%E4%BA%8E%E7%82%B9D%2C%E8%BF%9E%E6%8E%A5BD%2C%E8%8B%A5AC%3D4%2C%E6%B1%82BC.%EF%BC%88AB%E4%B8%8D%E6%98%AF%E7%9B%B4%E5%BE%84%EF%BC%89)
在等腰三角形ABC中,底角C=72度,圆O过A,B两点且与BC相切与点B,与AC交于点D,连接BD,若AC=4,求BC.(AB不是直径)
在等腰三角形ABC中,底角C=72度,圆O过A,B两点且与BC相切与点B,与AC交于点D,连接BD,若AC=4,求BC.(AB不是直径)
在等腰三角形ABC中,底角C=72度,圆O过A,B两点且与BC相切与点B,与AC交于点D,连接BD,若AC=4,求BC.(AB不是直径)
∵AB=AC,∠C=72°
∴∠A=36°
圆O过AB两点且BC切于B
∴∠CBD=∠A=36°
∴∠ABD=36°
∴AD=BD
∠BDC=72°
BC=BD
∴△ABC∽△BCD
∴BC^ 2=CD•AC=(AC-BC)AC
∴BC^ 2+4BC-16=0
∴BC=2√ 5-2
四倍的根二
因为BC和圆相切
所以 角CBD=角CAB (弦切角定理)
所以 三角形CBD相似于三角形CAB
所以CD/BC=BC/AC=BD/AD
即 CD/BC=BC/4=BD/(4-CD) (1)式
又因为ABC是等腰三角形
过A点作BC边上的高交BC于H
则 BH=HC=AC*cos72°
所以 BC=8cos72° 代...
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因为BC和圆相切
所以 角CBD=角CAB (弦切角定理)
所以 三角形CBD相似于三角形CAB
所以CD/BC=BC/AC=BD/AD
即 CD/BC=BC/4=BD/(4-CD) (1)式
又因为ABC是等腰三角形
过A点作BC边上的高交BC于H
则 BH=HC=AC*cos72°
所以 BC=8cos72° 代入(1)式第一个等号
得 CD=BC方/4=16cos72°cos72° 再代入(1)式第二个等号
得 BD=(4-CD)BC/4=1.53
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