若函数f(x)=-x^2+2ax+64/a在区间[1,2]上的最大值记为g(a),(1)求g(a)的表达式;(2)当a≥2时,求g(a)的最小值
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/23 19:43:41
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若函数f(x)=-x^2+2ax+64/a在区间[1,2]上的最大值记为g(a),(1)求g(a)的表达式;(2)当a≥2时,求g(a)的最小值
若函数f(x)=-x^2+2ax+64/a在区间[1,2]上的最大值记为g(a),(1)求g(a)的表达式;(2)当a≥2时,求g(a)的最小值
若函数f(x)=-x^2+2ax+64/a在区间[1,2]上的最大值记为g(a),(1)求g(a)的表达式;(2)当a≥2时,求g(a)的最小值
f(x)=-x^2+2ax+64/a=-(x-a)^2+a^2+64/a
函数对称轴x=a
a
(1)f(x)=-(x-a)^2+a^2+64/a
当a<1时,最大值为f(1)=-1+2a+64/a=f(a)
当a属于[1,2]时,最大值f(a)=a^2+64/a=g(a)
当a>2时,最大值f(2)=-4+4a+64/a
(2)当a≥2时,g(a)=-4+4a+64/a≥-4+2根号4*64=28
解1:
因为:f(x)=-x^2+2ax+64/a
所以:f'(x)=-2x+2a
令f'(x)=0,有:
-2x+2a=0
解得:x=a
当x<a时,f'(x)=2(a-x)>0
当x>a时,f'(x)=2(a-x)<0
所以,x=a,是f(x)的极大值点
g(a)=f(a)=2a-a^2+64/a
解2:
...
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解1:
因为:f(x)=-x^2+2ax+64/a
所以:f'(x)=-2x+2a
令f'(x)=0,有:
-2x+2a=0
解得:x=a
当x<a时,f'(x)=2(a-x)>0
当x>a时,f'(x)=2(a-x)<0
所以,x=a,是f(x)的极大值点
g(a)=f(a)=2a-a^2+64/a
解2:
由上可知:g(a)=2a-a^2+64/a
g'(a)=2-2a-64/(a^2)
当a≥2时,有:g'(a)<0。
所以g(a)是单调减函数,在给定的a∈[2,∞)区间内,没有最小值。
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对称轴是x=-a;讨论对称轴和【1,2】区间的关系,得;
f(2)= 8a+64/a+4, a≥-1(对称轴落在区间左侧)
g(a)=f(1)= 2a+64/a+1, a《-2(对称轴落在区间右侧)
-a^2+64/a , -2(2)此时属于第1种情况,此时最小值应是f(1)=2a+64/a...
全部展开
对称轴是x=-a;讨论对称轴和【1,2】区间的关系,得;
f(2)= 8a+64/a+4, a≥-1(对称轴落在区间左侧)
g(a)=f(1)= 2a+64/a+1, a《-2(对称轴落在区间右侧)
-a^2+64/a , -2(2)此时属于第1种情况,此时最小值应是f(1)=2a+64/a+1≥16√2+1,
取等号时a=4√2≥2,合理;
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