如何证明:设a,b为正实数,(a^3-b^3)的绝对值=1,则(a-b)的绝对值<1
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/26 02:56:21
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如何证明:设a,b为正实数,(a^3-b^3)的绝对值=1,则(a-b)的绝对值<1
如何证明:设a,b为正实数,(a^3-b^3)的绝对值=1,则(a-b)的绝对值<1
如何证明:设a,b为正实数,(a^3-b^3)的绝对值=1,则(a-b)的绝对值<1
1=|a^3-b^3|=|(a-b)(a^2-ab+b^2)|>|(a-b)(a^2-2ab+b^2)|=|(a-b)^3|
即:|(a-b)^3|
不妨设0 < b < a.
∵a, b > 0, ∴1 = a³-b³ = (a-b)·(a²+ab+b²) > (a-b)·a².
若a ≥ 1, 则1 > (a-b)·a² ≥ a-b > 0, 即得|a-b| < 1, 结论成立.
若a < 1, 则由0 < b < a < 1, 同样有|a-b| < 1, 结论成立.
即当a, b > 0, |a³-b³| = 1, 总有|a-b| < 1.