已知abc属于R,且a加b加c等1,求证a平方加b平方加c平方大于等于三分之一

已知abc属于R,且a加b加c等1,求证a平方加b平方加c平方大于等于三分之一
已知abc属于R,且a加b加c等1,求证a平方加b平方加c平方大于等于三分之一

已知abc属于R,且a加b加c等1,求证a平方加b平方加c平方大于等于三分之一
不要急,先分析一下题目.
那么要想办法让a^2+b^2+c^2与一个数字的比较出现.
所以解法如下.
(a+b+c)^2 = (a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc+ca)
==> 1=(a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc+ca)
(因为与一个数字的比较出现,所以把1放进去是必然的）
==> a^2+b^2+c^2 = 1-2(ab+bc+ca)
（因为a^2+b^2+c^2与一个数字要做比较）
1-2(ab+bc+ca)>=1-2(a^2+b^2)-2(b^2+c^2)-2(a^2+c^2)
(因为ab+bc+ca不除去就解不出,但又要不能出现别的多余的式子,否则朝答案式子方向简化的目的就是败了,所以化成与a^2+b^2+c^2靠近的式子.且因为要做比较,暗示了我们化简时要出现不等式的化简.又观察有2倍,与前面的合起来就是3倍,可能与三分之一有关）
1-2(ab+bc+ca)>=1-2(a^2+b^2)-2(b^2+c^2)-2(a^2+c^2)=1-2(a^2+b^2+c^2)
==> a^2+b^2+c^2=1-2(a^2+b^2+c^2)
==> 3(a^2+b^2+c^2) >= 1
==> a^2+b^2+c^2 >=1/3

因为a+b+c=1
所以(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc
因为2ab≤a^2+b^2
所以
(a+b+c)^2≤3(a^2+b^2+c^2)
所以a^2+b^2+c^2大于等于1/3