数列(An)的前n项的和为Sn,且A1=1,A(n+1)=(1/3)Sn,n=1、2、3、……求:⑴(An)的通项公式⑵A2+A4+A6+……+A(2n)的值
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/25 16:05:18
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数列(An)的前n项的和为Sn,且A1=1,A(n+1)=(1/3)Sn,n=1、2、3、……求:⑴(An)的通项公式⑵A2+A4+A6+……+A(2n)的值
数列(An)的前n项的和为Sn,且A1=1,A(n+1)=(1/3)Sn,n=1、2、3、……求:
⑴(An)的通项公式
⑵A2+A4+A6+……+A(2n)的值
数列(An)的前n项的和为Sn,且A1=1,A(n+1)=(1/3)Sn,n=1、2、3、……求:⑴(An)的通项公式⑵A2+A4+A6+……+A(2n)的值
a(n)=s(n)-s(n-1)=3a(n+1)-3a(n) (n>=2)
所以4a(n)=3a(n+1)
所以a(n+1)=4/3*a(n)
所以a(n)为公比为4/3的等比数列(n>=2)
所以a(n)=1 (n=1)
a(n)=(4/3)^(n-2)*1/3 (n>=2)
a2+a4+...+a2n
=1/3+1/3*(4/3)^2+1/3*(4/3)^4+ ...+1/3*(4/3)^(2n-2)
=1/3*((16/9)^0+(16/9)^1+(16/9)^2+...+(16/9)^(n-1))
=1/3*(1-(16/9)^n)/(1-16/9)=3/7*((16/9)^n-1)
a(n)=s(n)-s(n-1)=3a(n+1)-3a(n) (n>=2)
所以4a(n)=3a(n+1)
所以a(n+1)=4/3*a(n)
所以a(n)为公比为4/3的等比数列(n>=2)
a2+a4+...+a2n
=1/3+1/3*(4/3)^2+1/3*(4/3)^4+ ...+1/3*(4/3)^(2n-2)
=1/3*((16/9)^0+(16/9)^1+(16/9)^2+...+(16/9)^(n-1))
=1/3*(1-(16/9)^n)/(1-16/9)=3/7*((16/9)^n-1