数学二次函数有关知识点

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抛物线：一般式 ,顶点式,交点式,开口,顶点,极大,极小值,抛物线和坐标轴的交点,抛物线与一元二次方程的关系,抛物线的平移以及对称.就这些吧?

《二次函数》小结与复习（1） 理解二次函数的概念，掌握二次函数 y＝ax2 的图象与性质；会用描点法画抛物线，能确定 抛物线的顶点、 对称轴、 开口方向， 能较熟练地由抛物线 y＝ax2 经过适当平移得到 y＝a(x－h)2 ＋k 的图象。 重点难点： 1． 重点： 用配方法求二次函数的顶点、 对称轴， 根据图象概括二次函数 y＝ax2 图象的性质。 2．难点：二次函数图象的平移。 教学过程：一、...

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《二次函数》小结与复习（1） 理解二次函数的概念，掌握二次函数 y＝ax2 的图象与性质；会用描点法画抛物线，能确定 抛物线的顶点、 对称轴、 开口方向， 能较熟练地由抛物线 y＝ax2 经过适当平移得到 y＝a(x－h)2 ＋k 的图象。 重点难点： 1． 重点： 用配方法求二次函数的顶点、 对称轴， 根据图象概括二次函数 y＝ax2 图象的性质。 2．难点：二次函数图象的平移。 教学过程：一、结合例题精析，强化练习，剖析知识点 结合例题精析，强化练习， 1．二次函数的概念，二次函数 y＝ax 例：已知函数 y 2 (a≠0)的图象性质。 = (m + 2) x m 2 + m?4 是关于 x 的二次函数，求：(1)满足条件的 m 值；(2)m 为何值时，抛物线有最低点?求出这个最低点．这时当 x 为何值时，y 随 x 的增大而增大?(3)m 为何值时，函数有最大值?最大值是什么?这时当 x 为何值时，y 随 x 的增大而减小? 学生活动：学生四人一组进行讨论，并回顾例题所涉及的知识点，让学生代表发言分析解题 方法，以及涉及的知识点。 教师精析点评，二次函数的一般式为 y＝ax ＋bx＋c(a≠0)。强调 a≠0．而常数 b、c 可以 为 0，当 b，c 同时为 0 时，抛物线为 y＝ax (a≠0)。此时，抛物线顶点为(0，0)，对称轴是 y 轴，即直线 x＝0。 (1)使 y 2 2 2 = (m + 2) x m 2 + m?4 是关于 x 的二次函数，则 m ＋m－4＝2，且 m＋2≠0，即： 2 m ＋m－4＝2，m＋2≠0，解得；m＝2 或 m＝－3，m≠－2 (2)抛物线有最低点的条件是它开口向上，即 m＋2＞0， (3)函数有最大值的条件是抛物线开口向下，即 m＋2＜0。 抛物线的增减性要结合图象进行分析，要求学生画出草图，渗透数形结合思想，进行观察分析。 强化练习；已知函数 y = (m + 1) x m 2 +m 是二次函数，其图象开口方向向下，则 m＝_____， 顶点为_____，当 x_____0 时，y 随 x 的增大而增大，当 x_____0 时，y 随 x 的增大而减小。 2。用配方法求抛物线的顶点，对称轴；抛物线的画法，平移规律，例：用配方法求出抛物 线 y＝－3x －6x＋8 的顶点坐标、对称轴，并画出函数图象，说明通过怎样的平移，可得到抛物 线 y＝－3x 。 学生活动：小组讨论配方方法，确定抛物线画法的步骤，探索平移的规律。充分讨论后让学 生代表归纳解题方法与思路。 教师归纳点评： (1)教师在学生合作讨论基础上强调配方的方法及配方的意义，指出抛物线的一般式与顶点 式的互化关系： y＝ax ＋bx＋c————→y＝a(x＋ 2 2 2 b 2 4ac－b )＋ 2a 4a 2 (2)强调利用抛物线的对称性进行画图，先确定抛物线的顶点、对称轴，利用对称性列表、描 点、连线。 - 1 - (3)抛物线的平移抓住关键点顶点的移动，分析完例题后归纳； 投影展示： 强化练习： (1)抛物线 y＝x ＋bx＋c 的图象向左平移 2 个单位。再向上平移 3 个单位，得抛物线 y＝x －2x＋1，求：b 与 c 的值。 1 2 (2)通过配方，求抛物线 y＝ x －4x＋5 的开口方向、对称轴及顶点坐标，再画出图象。 2 3．知识点串联，综合应用。 例：如图，已知直线 AB 经过 x 轴上的点 A(2，0)，且与抛物线 y＝ax 相交于 B、C 两点，已知 B 点坐标为(1，1)。 (1)求直线和抛物线的解析式； (2)如果 D 为抛物线上一点，使得△AOD 与△OBC 的面积相等， 求 D 点坐标。 学生活动： 开展小组讨论， 体验用待定系数法求函数的解析式。 教师点评：(1)直线 AB 过点 A(2，0)，B(1，1)，代入解析式 y ＝kx＋b，可确定 k、b，抛物线 y＝ax 过点 B(1，1)，代人可确定 a。 求得：直线解析式为 y＝－x＋2，抛物线解析式为 y＝x 。 (2)由 y＝－x＋2 与 y＝x ，先求抛物线与直线的另一个交点 C 的坐标为(－2，4)， S△OBC＝S△ABC－S△OAB＝3。 ∵ 2 2 2 2 2 2 2 S△AOD＝S△OBC，且 OA＝2 2 ∴ D 的纵坐标为 3 又∵ D 在抛物线 y＝x 上，∴x ＝3，即 x＝± 3 ∴ D(－ 3，3)或( 3，3) 2 强化练习：函数 y＝ax (a≠0)与直线 y＝2x－3 交于点 A(1，b)，求： (1)a 和 b 的值； (2)求抛物线 y＝ax 的顶点和对称轴； (3)x 取何值时，二次函数 y＝ax 中的 y 随 x 的增大而增大， (4)求抛物线与直线 y＝－2 两交点及抛物线的顶点所构成的三角形面积。 二、课堂小结 1．让学生反思本节教学过程，归纳本节课复习过的知识点及应用。 2。投影：完成下表： 2 2 - 2 - 三、作业： 作业： 作业优化设计 一、填空。 1．若二次函数 y＝(m＋1)x ＋m －2m－3 的图象经过原点，则 m＝______。 2．函数 y＝3x 与直线 y＝kx＋3 的交点为(2，b)，则 k＝______，b＝______。 1 2 1 2 3．抛物线 y＝－ (x－1) ＋2 可以由抛物线 y＝－ x 向______方向平移______个单位，再向 3 3 ______方向平移______个单位得到。 1 2 5 2 4．用配方法把 y＝－ x ＋x－ 化为 y＝a(x－h) ＋k 的形式为 y＝__________________，其 2 2 开口方向______，对称轴为______，顶点坐标为______。 二、选择。 1．函数 y＝(m－n)x ＋mx＋n 是二次函数的条件是( A．m、n 是常数，且 m≠0 C. m、n 是常数，且 n≠0 2 2 2 2 2 ) B．m、n 是常数，且 m≠n D. m、n 可以为任意实数 ) ?m＝1 C. ? ?k＝2 2 2．直线 y＝mx＋1 与抛物线 y＝2x －8x＋k＋8 相交于点(3，4)，则 m、k 值为( ?m＝1 A．? ?k＝3 ?m＝－1 B．? ?k＝2 ?m＝2 D. ? ?k＝1 3．下列图象中，当 ab＞0 时，函数 y＝ax 与 y＝ax＋b 的图象是( ) 三、解答题 1．函数 (1)当 a 取什么值时，它为二次函数。 (2)当 a 取什么值时，它为一次函数。 1 2 2．已知抛物线 y＝ x 和直线 y＝ax＋1 4 (1)求证：不论 a 取何值，抛物线与直线必有两个不同舶交点。 (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线与直线的两个交点，P 为线段 AB 的中点，且点 P 的横坐 - 3 - 标为 x1＋x2 ，试用 a 表示点 P 的纵坐标。 2 (3)函数 A、B 两点的距离 d＝ 1＋a |x1－x2|，试用 a 表示 d。 (4)过点 C(0，－1)作直线 l 平行于 x 轴，试判断直线 l 与以 AB 为直径的圆的位置关系，并 2 说明理由。 第 26 章 教学目标： 《二次函数》小结与复习（2） 会用待定系数法求二次函数的解析式， 能结合二次函数的图象掌握二次函数的性质， 能较熟 练地利用函数的性质解决函数与圆、三角形、四边形以及方程等知识相结合的综合题。 重点难点：重点；用待定系数法求函数的解析式、运用配方法确定二次函数的特征。 难点：会运用二次函数知识解决有关综合问题。 教学过程：一、例题精析，强化练习，剖析知识点 例题精析，强化练习， 用待定系数法确定二次函数解析式． 例：根据下列条件，求出二次函数的解析式。 (1)抛物线 y＝ax ＋bx＋c 经过点(0，1)，(1，3)，(－1，1)三点。 (2)抛物线顶点 P(－1，－8)，且过点 A(0，－6)。 (3)已知二次函数 y＝ax ＋bx＋c 的图象过(3，0)，(2，－3)两点，并且以 x＝1 为对称轴。 (4)已知二次函数 y＝ax ＋bx＋c 的图象经过一次函数 y＝－3/2x＋3 的图象与 x 轴、y 轴的 交点；且过(1，1)，求这个二次函数解析式，并把它化为 y＝a(x－h) ＋k 的形式。 学生活动：学生小组讨论，题目中的四个小题应选择什么样的函数解析式?并让学生阐述解 题方法。 教师归纳：二次函数解析式常用的有三种形式： (1)一般式：y＝ax ＋bx＋c (2)顶点式：y＝a(x－h) ＋k 2 2 2 2 2 2 (a≠0) (a≠0) (3)两根式：y＝a(x－x1)(x－x2) 2 2 (a≠0) 当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式 y＝ax ＋bx＋c 形式。 当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时，通常设为顶点式 y＝a(x－h) ＋k 形式。 当已知抛物线与 x 轴的交点或交点横坐标时，通常设为两根式 y＝a(x－x1)(x－x2) 强化练习：已知二次函数的图象过点 A(1，0)和 B(2，1)，且与 y 轴交点纵坐标为 m。 (1)若 m 为定值，求此二次函数的解析式； (2)若二次函数的图象与 x 轴还有异于点 A 的另一个交点，求 m 的取值范围。 二、知识点串联，综合应用 知识点串联， 例：如图，抛物线 y＝ax ＋bx＋c 过点 A(－1，0)，且经 过直线 y＝x－3 与坐标轴的两个交点 B、C。 (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标， (3)若点 M 在第四象限内的抛物线上，且 OM⊥BC，垂足 为 D，求点 M 的坐标。 - 4 2 学生活动：学生先自主分析，然后小组讨论交流。 教师归纳： (1)求抛物线解析式，只要求出 A、B，C 三点坐标即可，设 y＝x －2x－3。 (2)抛物线的顶点可用配方法求出，顶点为(1，－4)。 (3)由|0B|＝|OC|＝3 又 OM⊥BC。 所以，OM 平分∠BOC 设 M(x，－x)代入 y＝x －2x－3 2 2 解得 x＝ 1± 13 2 1＋ 13 1－ 13 ， ) 因为 M 在第四象限：∴M( 2 2 题后反思：此题为二次函数与一次函数的交叉问题，涉及到了用待定系数法求函数 解析式，用配方法求抛物线的顶点坐标；等腰三角形三线合一等性质应用，求 M 点坐标 时应考虑 M 点所在象限的符号特征，抓住点 M 在抛物线上，从而可求 M 的求标。 强化练习；已知二次函数 y＝2x －(m＋1)x＋m－1。 (1)求证不论 m 为何值，函数图象与 x 轴总有交点，并指出 m 为何值时，只有一个交点。 (2)当 m 为何值时，函数图象过原点，并指出此时函数图象与 x 轴的另一个交点。 (3)若函数图象的顶点在第四象限，求 m 的取值范围。 三、课堂小结 1．投影：让学生完成下表： 2 2．归纳二次函数三种解析式的实际应用。 3．强调二次函数与方程、圆、三角形，三角函数等知识综合的综合题解题思路。 四、作业： 作业： - 5 - 课后反思： 本节课重点是用待定系数法求函数解析式， 应注意根据不同的条件选择合适的解析式 形式；要让学生熟练掌握配方法，并由此确定二次函数的顶点、对称轴，并能结合图象分析二次 函数的有关性质。 对于二次函数与其他知识的综合应用， 关键要让学生掌握解题思路， 把握题型， 能利用数形结合思想进行分析，从而把握解题的突破口。 课时作业优化设计 一、填空。 1 2 1. 如果一条抛物线的形状与 y＝－ x ＋2 的形状相同，且顶点坐标是(4，－2)，则它的解 3 析式是_____。 2．开口向上的抛物线 y＝a(x＋2)(x－8)与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，若∠ACB ＝90°，则 a＝_____。 3．已知抛物线 y＝ax ＋bx＋c 的对称轴为 x＝2，且过(3，0)，则 a＋b＋c＝______。 二、选择。 1．如图(1)，二次函数 y＝ax ＋bx＋c 图象如图所示，则下列结论成立的是( A．a＞0，bc＞0 B. a＜0，bc＜0 C. a＞O，bc＜O D. a＜0，bc＞0 2 2 ) 2．已知二次函数 y＝ax ＋bx＋c 图象如图(2)所示，那么函数解析式为( A．y＝－x ＋2x＋3 C．y＝－x －2x＋3 2 2 2 2 ) B. y＝x －2x－3 D. y＝－x －2x－3 2 2 3．若二次函数 y＝ax ＋c，当 x 取 x1、x2(x1≠x2)时，函数值相等，则当 x 取 x1＋x2 时，函 数值为( A．a＋c ) B. a－c 2 C．－c D. c ) 4．已知二次函数 y＝ax ＋bx＋c 图象如图(3)所示，下列结论中： ①abc＞0，②b＝2a；③ a＋b＋c＜0，④a－b＋c＞0，正确的个数是( A．4 个 B．3 个 2 C. 2 个 2 D．1 个 三、解答题。 已知抛物线 y＝x －(2m－1)x＋m －m－2。 (1)证明抛物线与 x 轴有两个不相同的交点， (2)分别求出抛物线与 x 轴交点 A、B 的横坐标 xA、xB，以及与 y 轴的交点的纵坐标 yc(用含 m 的代数式表示) (3)设△ABC 的面积为 6，且 A、B 两点在 y 轴的同侧，求抛物线的解析式。 第 26 章 教学目标： 《二次函数》小结与复习（3） 1．使学生掌握二次函数模型的建立，并能运用二次函数的知识解决实际问题。 2．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，获得用数学方法解决 - 6 - 实际问题的经验，感受数学模型、思想在实际问题中的应用价值。 重点难点：重点：利用二次函数的知识解决实际问题，并对解决问题的策略进行反思。 难点：将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策。 教学过程：一、例题精析，引导学法，指导建模 例题精析，引导学法， 1．何时获得最大利润问题。 例：重庆市某区地理环境偏僻，严重制约经济发展，丰富的花木产品只能在本地销 区政府对该花木产品每投资 x 万元，所获利润为 P=－ 售， 1 2 (x－30) ＋10 万元，为了响应我国西部 50 大开发的宏伟决策，区政府在制定经济发展的 10 年规划时，拟开发此花木产品，而开发前后可 用于该项目投资的专项资金每年最多 50 万元，若开发该产品，在前 5 年中，必须每年从专项资 金中拿出 25 万元投资修通一条公路，且 5 年修通，公路修通后，花木产品除在本地销售外，还 可运往外地销售，运往外地销售的花木产品，每投资 x 万元可获利润 Q=－ －x)＋308 万元。 (1)若不进行开发，求 10 年所获利润最大值是多少? (2)若按此规划开发，求 10 年所获利润的最大值是多少? (3)根据(1)、(2)计算的结果，请你用一句话谈谈你的想法。 学生活动：投影给出题目后，让学生先自主分析，小组进行讨论。 教师活动：在学生分析、讨论过程中，对学生进行学法引导，引导学生先了解二次函数的基 本性质， 并学会从实际问题中抽象出二次函数的模型， 借助二次函数的性质来解决这类实际应用 题。 教师精析： (1)若不开发此产品，按原来的投资方式，由 P=－ 1 2 (x－30) ＋10 知道，只需从 50 万元专 50 49 194 2 (50－x) ＋ (50 50 5 款中拿出 30 万元投资，每年即可获最大利润 10 万元，则 10 年的最大利润为 M1＝10×10=100 万 元。 (2)若对该产品开发，在前 5 年中，当 x=25 时，每年最大利润是： P＝－ 1 2 (25－30) ＋10=9.5(万元) 50 则前 5 年的最大利润为 M2=9.5×5=47.5 万元 设后 5 年中 x 万元就是用于本地销售的投资。 则由 Q＝－ 194 49 (50－x)＋ (50－x)＋308 知， 将余下的(50－x 万元全部用于外地销售的投 50 5 1 49 2 194 2 (x－30) ＋10]×5＋(－ x ＋ 50 50 5 资．才有可能获得最大利润； 则后 5 年的利润是： M3＝[－ x＋308)×5＝－5(x－20) ＋3500 ∴ 2 故当 x＝20 时，M3 取得最大值为 3500 万元。 10 年的最大利润为 M＝M2＋M3＝3547.5 万元 (3)因为 3547.5＞100，所以该项目有极大的开发价值。 强化练习：某公司试销一种成本单价为 500 元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于 成本单价，又不高于 800 元/件，经试销调查，发现 销售量 y(件)与销售单价 x(元/件)可近似看做—次 - 7 - 函数 y＝kx＋b 的关系，如图所示。 (1)根据图象，求一次函数 y＝kx＋b 的表达式， (2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为 S 元，①试用销售单价 x 表示毛 利润 S；②试问销售单价定为多少时，该公司可获得最大利润?最大利润是多少?此时的销售量是 多少? 分析：(1)由图象知直线 y＝kx＋b 过(600，400)、(700，300)两点，代入可求解析式 为 y＝－x＋1000 (2)由毛利润 S＝销售总价－成本总价，可得 S 与 x 的关系式。 S＝xy－500y＝x·(－x＋1000)－500(－x＋100) ＝－x ＋1500x－500000＝－(x－750) ＋62500 2 2 (500＜x＜800) 所以，当销售定价定为 750 元时，获最大利润为 62500 元。 此时，y＝－x＋1000＝－750＋1000＝250,即此时销售量为 250 件。 2．最大面积是多少问题。 例：某广告公司设计一幅周长为 12 米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米 1000 元，设矩 形的边长为 x，面积为 S 平方米。 (1)求出 S 与 x 之间的函数关系式； (2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个设计费用； (3)为了使广告牌美观、大方，要求做成黄金矩形，请你按要求设计，并计算出可获得的设 计费是多少?(精确到元) (参与资料： ①当矩形的长是宽与(长＋宽)的比例中项时， 这样的矩 形叫做黄金矩形，② 5≈2.236) 学生活动：让学生根据已有的经验，根据实际几何问题中的数量关系，建立恰当的二次函数 模型，并借助二次函数的相关知识来解决这类问题。 教师精析： (1)由矩形面积公式易得出 S＝x·(6－x)＝－x ＋6x (2)确定所建立的二次函数的最大值，从而可得相应广告费的最大值。 由 S＝－x ＋6x＝－(x－3) ＋9，知当 x＝3 时，即此矩形为边长为 3 的正方形时，矩形面积 最大，为 9m ，因而相应的广告费也最多：为 9×1000＝9000 元。 (3)构建相应的方程(或方程组)来求出矩形面积，从而得到广告费用的大小。 设设计的黄金矩形的长为 x 米，则宽为(6－x)米。 则有 x ＝6·(6－x) 解得 x1＝－3－3 5 (不合题意，舍去)，x2＝－3＋3 5。 即设计的矩形的长为(3 5，3)米，宽为(9－3 5)米时，矩形为黄金矩形。 此时广告费用约为：1000(3 5－3)(9－3 5)≈8498(元) 课堂小结： 二、课堂小结：让学生谈谈．通过本节课的学习，有哪些体验，如何将实际问题转化为二次函数 问题，从而利用二次函数的性质解决最大利润问题，最大面积问题。 三、作业： 作业： P28，复习题 C 组 13～15 题。 课后反思： 课后反思： 二次函数的应用综合体现了二次函数性质的应用， 同时， 这类综合题与其他学过的知识有着 密切的联系，最大利润问题，最大面积问题是实际生活中常见的问题，综合性强，解题的关键在 于如何建立恰当的二次函数模型，建立正确的函数关系式，这一点应让学生有深刻的体会。 第三课时作业优化设计 1．某公司生产的 A 种产品，它的成本是 2 元，售价为 3 元，年销售量为 100 万件，为了获 得更好的效益， 公司准备拿出一定的资金做广告， 根据经验， 每年投入的广告费是 x(十万元)时， 2 2 2 2 2 - 8 - 产品的年销售量将是原销售量的 y 倍， y＝－ 且 本费和广告费。 1 2 3 x ＋ x＋1， 如果把利润看成是销售总额减去成 10 5 (1)试写出年利润 S(十万元)与广告费 x(十万元)的函数关系式． (2)如果投入广告费为 10～30 万元， 问广告费在什么范围内， 公司获得的年利润随广告费的 增大而增次? (3)在(2)中，投入的广告费为多少万元时，公司获得的年利润最大?是多少? 2．如图，有长为 24 米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用 一段墙体(墙体的最大可使用长度 a＝10 米)。 (1)如果所围成的花圃的面积为 45 平方米，试求宽 AB 的长； (2)按题目的设计要求，能围成面积比 45 平方米更 大的花圃吗?如果能，请求出最大面积，并说明围法，如 果不能请说明理由

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当 a＞0是 抛物线开口向上；当a＜0是，抛物线开口向下。 求出顶点式 y=a（x-h）+k “-h”相当于 对称轴。 对称轴在y轴右侧 a b 异号 对称轴在y的左侧 a b 同号