用数学归纳法证明 n的3次方+5n能被6整除

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/04 09:31:31

用数学归纳法证明 n的3次方+5n能被6整除
用数学归纳法证明 n的3次方+5n能被6整除

用数学归纳法证明 n的3次方+5n能被6整除
n=1时结论成立
假设n=k时成立,即k^3+5k能被6整除
当n=k+1时,(k+1)^3+5(k+1)-k^3-5k=3k(k+1)+6
k(k+1)必为偶数,所以3k(k+1)+6能被6整除
故(k+1)^3+5(k+1)能被6整除
综上所述,n的三次方+5n能被6整除

(1)1^3+5*1=6
(2)n^3+5n能被6整除
则(n+1)^3+5(n+1)=n^3+3n^2+3n+1+5n+5=n^3+5n+3n(n+1)+6
n(n+1)能被2整除 (相邻两数乘积为偶数)
∴(n+1)^3+5(n+1)能被6整除
∴对任意n>=1 n^3+5n均能被6整除

当n=1时，n³+5n=6，能被6整除。
当n=2时，n³+5n=18，能被6整除。
····
····
····
设n=k时，k³+5k能被6整除。
则n=k+1，（ k+1）³+5(k+1)=k³+3k²+3k+1+5k+5
3k²+3k+1=3（k²+5k)-12k+1

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