箐优网的vip帮忙看一下1.若非零函数f(x)对任意实数a,b均有f(a+b)=f(a)•f(b),且当x<0时,f(x)>1.(1)求证:f(x)>0(2)求证:f(x)为减函数当f(4)=1/16时,解不等式f(x−
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/23 14:49:17
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箐优网的vip帮忙看一下1.若非零函数f(x)对任意实数a,b均有f(a+b)=f(a)•f(b),且当x<0时,f(x)>1.(1)求证:f(x)>0(2)求证:f(x)为减函数当f(4)=1/16时,解不等式f(x−
箐优网的vip帮忙看一下
1.若非零函数f(x)对任意实数a,b均有f(a+b)=f(a)•f(b),且当x<0时,f(x)>1.
(1)求证:f(x)>0
(2)求证:f(x)为减函数
当
f(4)=
1/16
时,解不等式
f(x−3)•f(5−x2)≤
1/4
箐优网的vip帮忙看一下1.若非零函数f(x)对任意实数a,b均有f(a+b)=f(a)•f(b),且当x<0时,f(x)>1.(1)求证:f(x)>0(2)求证:f(x)为减函数当f(4)=1/16时,解不等式f(x−
分析:(1)只要证明x=0和x>0时,f(x)>0.原式中令b=0得f(a)=f(a)•f(0),可求出f(0)=1,再令a和b互为相反数可解.
(2)抽象函数单调性判断只能利用定义,先任取两个自变量,再利用做差或做商法比较两函数值的大小即可.
(3)利用已知等式可(2)中的单调性去掉f符号,转化为x的二次不等式求解即可.
(1)设x>0,则-x<0,在原式中令b=0得f(a)=f(a)•f(0),故f(0)=1,
再令a=x,b=-x,则f(0)=f(x)•f(-x),所以f(x)=
1
f(−x)
,因为-x<0,所以f(-x)>1,
所以0<f(x)<1,综上f(x)>0
(2)任取两个实数x1和x2,且x1<x2,则x2=x1+m,且m>0,所以0<f(m)<1
f(x2)-f(x1)=f(x1+m)-f(x1)=f(x1)•f(m)-f(x1)=f(x1)(f(m)-1)<0,
所以f(x2)<f(x1),所以f(x)为减函数
(3)由f(4)=
1
16
得f(2)=
1
4
,f(x−3)•f(5−x2)≤
1
4
,即f(x-3+5-x2)≤f(2)
由(2)可知x-3+5-x2≥2,即x-x2≥0,所以x∈[0,1].