作业帮关于微分方程解的结构的一道题目疑问原题目如下：已知(x-1)*(y``)-x*(y`)+y=0的一个解是y1=x 又知道 y2=e^x-(x^2+x+1) 和 y3=-x^2-1均是(x-1)*(y``)-xy`+y=(x-1)^2的解.求后面这个非齐次方程的解.我们知道非齐
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 00:26:53
关于微分方程解的结构的一道题目疑问原题目如下：已知(x-1)*(y``)-x*(y`)+y=0的一个解是y1=x 又知道 y2=e^x-(x^2+x+1) 和 y3=-x^2-1均是(x-1)*(y``)-xy`+y=(x-1)^2的解.求后面这个非齐次方程的解.我们知道非齐
关于微分方程解的结构的一道题目疑问
原题目如下：
已知(x-1)*(y``)-x*(y`)+y=0的一个解是y1=x 又知道 y2=e^x-(x^2+x+1) 和 y3=-x^2-1均是(x-1)*(y``)-xy`+y=(x-1)^2的解.
求后面这个非齐次方程的解.
我们知道非齐次方程的通解等于 它的一个特解+对应的齐次方程的通解.
所以这题关键就是求出齐次方程的另外一个特解.
按照定理.(y2-y3)就是相应的齐次方程的另外一个特解了y2-y3=e^x-x
而且这个东西和y1=x 也不存在线性相关.这样子就能得出通解了.
可是为什么答案上面写的是y4=(y2-y3)+y1=e^x也是齐次方程的一个特解.所以
最后给的答案是Y=C1y1+C2y4+y3=C1*x+C2*e^x-x^2-1
如果把当中的y4也就是e^x换成e^x-x应该也可以的吧?
关于微分方程解的结构的一道题目疑问原题目如下：已知(x-1)*(y``)-x*(y`)+y=0的一个解是y1=x 又知道 y2=e^x-(x^2+x+1) 和 y3=-x^2-1均是(x-1)*(y``)-xy`+y=(x-1)^2的解.求后面这个非齐次方程的解.我们知道非齐
取另一个特解为(y2-y3)+y1,而不用y2-y3,只是为了让特解更简单一点,最后非齐次方程的通解的表示式最简洁.当然用哪一个都行
如果用y2-y3为另一个特解,则非齐次方程的通解是y＝C1y1＋C2(y2-y3)＋y3＝C1x＋C2(e^x－x)-x^2-1＝(C1-C2)x＋C2e^x-x^2-1,这里C1-C2又可以用一个新的任意常数替换.
如果用(y2-y3)+y1为另一个特解,则非齐次方程的通解是y＝C1y1＋C2(y2-y3+y1)＋y3＝C1x＋C2e^x-x^2-1,表达式已经是最简的形式了
怎么写都行,但是最好是把表达式整理成为最简的形式
当然可以，他那样写是为了结果更整齐，换成e^x-x是一样的。
y = C1 x + C2(e^x-x)-x²-1 = (C1-C2)x + C2 e^x - x²-1
我这个C1-C2就是你的C1，反正都是常数，怎么写都行