若直线l:y=kx+m与椭圆x²/4+y²/3=1相交于不同的A,B两点,(A,B不是左右顶点),且以A,B为直径的圆过椭圆的右顶点.求证:直线l过定点,并求出该定点坐标.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/21 16:22:31
![若直线l:y=kx+m与椭圆x²/4+y²/3=1相交于不同的A,B两点,(A,B不是左右顶点),且以A,B为直径的圆过椭圆的右顶点.求证:直线l过定点,并求出该定点坐标.](/uploads/image/z/11012283-27-3.jpg?t=%E8%8B%A5%E7%9B%B4%E7%BA%BFl%EF%BC%9Ay%3Dkx%2Bm%E4%B8%8E%E6%A4%AD%E5%9C%86x%26sup2%3B%2F4%2By%26sup2%3B%2F3%3D1%E7%9B%B8%E4%BA%A4%E4%BA%8E%E4%B8%8D%E5%90%8C%E7%9A%84A%2CB%E4%B8%A4%E7%82%B9%2C%EF%BC%88A%2CB%E4%B8%8D%E6%98%AF%E5%B7%A6%E5%8F%B3%E9%A1%B6%E7%82%B9%EF%BC%89%2C%E4%B8%94%E4%BB%A5A%2CB%E4%B8%BA%E7%9B%B4%E5%BE%84%E7%9A%84%E5%9C%86%E8%BF%87%E6%A4%AD%E5%9C%86%E7%9A%84%E5%8F%B3%E9%A1%B6%E7%82%B9.%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9A%E7%9B%B4%E7%BA%BFl%E8%BF%87%E5%AE%9A%E7%82%B9%2C%E5%B9%B6%E6%B1%82%E5%87%BA%E8%AF%A5%E5%AE%9A%E7%82%B9%E5%9D%90%E6%A0%87.)
若直线l:y=kx+m与椭圆x²/4+y²/3=1相交于不同的A,B两点,(A,B不是左右顶点),且以A,B为直径的圆过椭圆的右顶点.求证:直线l过定点,并求出该定点坐标.
若直线l:y=kx+m与椭圆x²/4+y²/3=1相交于不同的A,B两点,(A,B不是左右顶点),且以A,B为直径的圆过椭圆的右顶点.求证:直线l过定点,并求出该定点坐标.
若直线l:y=kx+m与椭圆x²/4+y²/3=1相交于不同的A,B两点,(A,B不是左右顶点),且以A,B为直径的圆过椭圆的右顶点.求证:直线l过定点,并求出该定点坐标.
看图
联立y=kx+m与x²/4+y²/3=1得
3x²+4(kx+m)²=12
(3+4k²)x²+8kmx+4m²-12=0
设A(a,b),B(p,q)
则a+p=-8km/(3+4k²) ap=(4m²-12)/(3+4k²) ........(1)
由题...
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联立y=kx+m与x²/4+y²/3=1得
3x²+4(kx+m)²=12
(3+4k²)x²+8kmx+4m²-12=0
设A(a,b),B(p,q)
则a+p=-8km/(3+4k²) ap=(4m²-12)/(3+4k²) ........(1)
由题意知:右顶点C(2,0)
因为以A,B为直径的圆过椭圆的右顶点
所以 向量AC点乘向量BC=0
(2-a,-b)(2-p,-q)=0
(2-a)(2-p)+qb=0
4-2(a+p)+ap+qb=0.........(2)
q=kp+m,b=ka+m
qb=k²ap+km(a+p)+m²......(3)
联立(1)(2)(3)得
(4k²+16km+7m²)/(3+4k²)=0
4k²+16km+7m²=0
(2k+m)(2k+7m)=0
m=-2k或者m=-2k/7
当m=-2k时,直线l:y=kx-2k=k(x-2),过定点(2,0),而(2,0)为椭圆右顶点,所以矛盾.
当m=-2k/7时,直线l:y=kx-2k/7=k(x-2/7),过定点(2/7,0).
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