求证:方程x=cosx在[0,π/2]上至少存在一个实根

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/12 17:40:26
求证:方程x=cosx在[0,π/2]上至少存在一个实根

求证:方程x=cosx在[0,π/2]上至少存在一个实根
求证:方程x=cosx在[0,π/2]上至少存在一个实根

求证:方程x=cosx在[0,π/2]上至少存在一个实根
令f(x)=cosx-x

f(0)=1-0=1 >0
f(π/2)=-π/2

令y=x-cosx,则
x=0时,y=-1<0
x=π/2时,y=π/2-1>0
所以至少有某一个x使得y=0,即至少存在一个实根

令f(x)=x-cosx,因为f(0)=-1,f(π/2)=π/2
法一
且f(x)是连续函数。
根据零点存在定理,至少有x0∈[0,π/2]
使f(x0)=0
法二
f'(x)=1-sinx>=0,f(x)单调递增
f(0)<0,f(π/2)>0
f(x)=0有且仅有一个根使f(x)=0