已知a>0,b>0,且a+b=1,求证(1+1/a)*(1+1/b)>=9

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/28 16:20:07
已知a>0,b>0,且a+b=1,求证(1+1/a)*(1+1/b)>=9

已知a>0,b>0,且a+b=1,求证(1+1/a)*(1+1/b)>=9
已知a>0,b>0,且a+b=1,求证(1+1/a)*(1+1/b)>=9

已知a>0,b>0,且a+b=1,求证(1+1/a)*(1+1/b)>=9
证明(1+1/a)*(1+1/b)>=9 ,通过化简可以得到(2+ab)/ab>=9,即证明ab=2sqrt(ab),即ab

命题等价于(1+a)(1+b)>=9ab
等价于1+a+b>=8ab
等价于ab<=1/4
已知不等式ab<=((a+b)/2)^2即ab<=1/4
故命题得证

1=a+b≥2√ab ,≤
ab≤1/4
(1+1/a)*(1+1/b)
=1+(a+b)/(ab)+1/(ab)
≥1+4+4=9