一道关于相似的数学几何题已知△ABC中,D为AB边的中点,G为CD的中点,过点G的直线分别交AC、BC于点P、Q,设CP/CA=m,CQ/CB=n,求1/m+1/n的值
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/24 09:48:26
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一道关于相似的数学几何题已知△ABC中,D为AB边的中点,G为CD的中点,过点G的直线分别交AC、BC于点P、Q,设CP/CA=m,CQ/CB=n,求1/m+1/n的值
一道关于相似的数学几何题
已知△ABC中,D为AB边的中点,G为CD的中点,过点G的直线分别交AC、BC于点P、Q,设CP/CA=m,CQ/CB=n,求1/m+1/n的值
一道关于相似的数学几何题已知△ABC中,D为AB边的中点,G为CD的中点,过点G的直线分别交AC、BC于点P、Q,设CP/CA=m,CQ/CB=n,求1/m+1/n的值
过P作PE∥AB交CD于E、过Q作QF∥BA交CD于F.
∵FQ∥DB,∴△CFQ∽△CDB,∴CF/CD=FQ/DB=CQ/CB=n,∴CF=nCD,FQ=nDB.
∵PE∥AD,∴△CPE∽△CAD,∴CE/CD=PE/AD=CP/CA=m,∴CE=mCD,PE=mAD.
由CF=nCD、CE=mCD,得:CF/CE=n/m,∴(CE-CF)/CE=(n-m)/m,
∴EF/CE=(n-m)/m,∴EF=(n-m)CE/m=(n-m)mCD/m=(n-m)CD.
由FQ=nDB、PE=mAD,结合AD=DB,得:FQ/PE=n/m.
由FQ∥AB、PE∥AB,得:FQ∥PE,∴△QGF∽△PGE,∴GF/GE=FQ/PE=n/m,
∴GF/(GF+GE)=n/(m+n),∴(CG-CF)/EF=n/(m+n).
由EF=(n-m)CD、CF=nCD、CG=CD/2、(CG-CF)/EF=n/(m+n),得:
(CD/2-nCD)/[(n-m)CD]=n/(m+n),∴(1/2-n)/(n-m)=n/(m+n),
∴(m+n)/2-mn-n^2=n^2-mn,∴(m+n)/2=2mn,∴(m+n)/(mn)=1/4,
∴1/m+1/n=1/4.
1啊
呵呵