一道等差数列的题,将正三角形ABC分割成n^2(n大于等于2,n属于正整数)个全等的小正三角形,在每个三角形的顶点各放置一个数,使位于三角形ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/21 00:57:40
![一道等差数列的题,将正三角形ABC分割成n^2(n大于等于2,n属于正整数)个全等的小正三角形,在每个三角形的顶点各放置一个数,使位于三角形ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的](/uploads/image/z/12972973-13-3.jpg?t=%E4%B8%80%E9%81%93%E7%AD%89%E5%B7%AE%E6%95%B0%E5%88%97%E7%9A%84%E9%A2%98%2C%E5%B0%86%E6%AD%A3%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2ABC%E5%88%86%E5%89%B2%E6%88%90n%5E2%EF%BC%88n%E5%A4%A7%E4%BA%8E%E7%AD%89%E4%BA%8E2%2Cn%E5%B1%9E%E4%BA%8E%E6%AD%A3%E6%95%B4%E6%95%B0%EF%BC%89%E4%B8%AA%E5%85%A8%E7%AD%89%E7%9A%84%E5%B0%8F%E6%AD%A3%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%2C%E5%9C%A8%E6%AF%8F%E4%B8%AA%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E7%9A%84%E9%A1%B6%E7%82%B9%E5%90%84%E6%94%BE%E7%BD%AE%E4%B8%80%E4%B8%AA%E6%95%B0%2C%E4%BD%BF%E4%BD%8D%E4%BA%8E%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2ABC%E7%9A%84%E4%B8%89%E8%BE%B9%E5%8F%8A%E5%B9%B3%E8%A1%8C%E4%BA%8E%E6%9F%90%E8%BE%B9%E7%9A%84%E4%BB%BB%E4%B8%80%E7%9B%B4%E7%BA%BF%E4%B8%8A%E7%9A%84%E6%95%B0%EF%BC%88%E5%BD%93%E6%95%B0%E7%9A%84)
一道等差数列的题,将正三角形ABC分割成n^2(n大于等于2,n属于正整数)个全等的小正三角形,在每个三角形的顶点各放置一个数,使位于三角形ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的
一道等差数列的题,
将正三角形ABC分割成n^2(n大于等于2,n属于正整数)个全等的小正三角形,在每个三角形的顶点各放置一个数,使位于三角形ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时)都分别依次成等差数列.若顶点A,B,C处的3个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f(n),则f(n)=?
谢谢1楼的兄弟了,可是这道题的答案是(n+1)(n+2)/6,希望有牛人能帮忙解答下,这是当n=2和n=3时的图
一道等差数列的题,将正三角形ABC分割成n^2(n大于等于2,n属于正整数)个全等的小正三角形,在每个三角形的顶点各放置一个数,使位于三角形ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的
由分成n平方个,则各边分成n段,边长变为原△ABC的1/n.
以平行AC为例
AB上的点,首项a,等差(b-a)/n:a,[(n-1)a+b]/n, [(n-2)a+2b]/n, [(n-3)a+3b]/n,., [a+(n-1)b]/n,b
CB上的点,首项c,等差(b-c)/n:c,[(n-1)c+b]/n, [(n-2)c+2b]/n, [(n-3)c+3b]/n,., [c+(n-1)b]/n,b
可以看到,有n+1列,除了最后一个是点B外,其他是一组平行线,且平行线上的点为等差数列.假设各平行线等差数列首项在AB上,最后一项在CB上
则除了点B,由公式S=n(a1+an)/2,这n列平行线和分别为:
(n+1)(a+c)/2,
n[(n-1)a+(n-1)c+2b]/n/2,
(n-1)[(n-2)a+(n-2)c+2*2b]/n/2,
(n-2)[(n-3)a+(n-3)c+2*3b]/n/2,
(n-3) [(n-4)a+(n-4)c+2*4b]/n/2,
.
.
.
3[2a+2c+2(n-2)b]/n/2,
2[a+c+2*(n-1)b]/n/2
b(点B)
发现可以分别对含a、b、c项相加.
F(a)=[(n+1)n+n(n-1)+(n-1)(n-2)+...+3*2+2*1]a/2n.
F(c)=[(n+1)n+n(n-1)+(n-1)(n-2)+...+3*2+2*1]c/2n.
F(b)=[(n-1)+(n-2)+...+2+1]b/n+b=(n+1)b.
同理,平行BC、AB情况分别为
G(b)=[(n+1)n+n(n-1)+(n-1)(n-2)+...+3*2+2*1]b/2n.
G(c)=[(n+1)n+n(n-1)+(n-1)(n-2)+...+3*2+2*1]c/2n.
G(a)=[(n-1)+(n-2)+...+2+1]a/n+a=(n+1)a.
和
H(a)=[(n+1)n+n(n-1)+(n-1)(n-2)+...+3*2+2*1]a/2n.
H(b)=[(n+1)n+n(n-1)+(n-1)(n-2)+...+3*2+2*1]b/2n.
H(c)=[(n-1)+(n-2)+...+2+1]c/n+c=(n+1)c.
∴f(n)=[F(a)+G(a)+H(a)+F(b)+G(b)+H(b)+F(c)+G(c)+H(c)]/3
=[S(n)+n(n+1)]/3n
此时,只要处理数列{Dn},dn=(n+1)n的前n项和S(n)就可以了.
利用等差数列的求和公式,以及等差数列中,等差中项的性质
结果是(n+1)(n+2)/6