设P大于0是一个常数,过点Q(2P,0)的直线与抛物线y∧2=2px交于相异两点A,B,以线段AB为直径做圆H1,证:抛物线的顶点在圆上
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/24 06:09:00
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设P大于0是一个常数,过点Q(2P,0)的直线与抛物线y∧2=2px交于相异两点A,B,以线段AB为直径做圆H1,证:抛物线的顶点在圆上
设P大于0是一个常数,过点Q(2P,0)的直线与抛物线y∧2=2px交于相异两点A,B,以线段AB为直径做圆H
1,证:抛物线的顶点在圆上
设P大于0是一个常数,过点Q(2P,0)的直线与抛物线y∧2=2px交于相异两点A,B,以线段AB为直径做圆H1,证:抛物线的顶点在圆上
证明:若抛物线顶点(0,0)在圆上
我们就要证那么Koa×Kob=-1
也就是OA⊥OB
设点A和B的坐标分别为(x1,y1)(x2,y2)
y2/x2×y1/x1=-1
x1x2+y1y2=0
这是思路,下面是过程:
因此设过点Q的直线为y=k(x-2p)=kx-2pk
那么
(kx-2pk)²=2px
k²x²-4pk²x+4p²k²-2px=0
k²x²-(4pk²+2p)x+4p²k²=0
x1×x2=4p²
x1+x2=(4pk²+2p)/k²
y1×y2=(kx1-2pk)(kx2-2pk)=k²x1x2-2pk²(x1+x2)+4p²k²=4p²k²-2p(4pk²+2p)+4p²k²=8p²k²-8p²k²-4p²=-4p²
x1x2+y1y2=4p²-4p²=0
x1x2=-y1y2
y2/x2×y1/x1=-1
那么就是说OA垂直OB,角OAB为直角
命题得证.
(1)当AB⊥x轴时,直线AB的方程为x=2p,代入y2=2px;y2=4p2,y=±2p,∴|AB|=|y1-y2|=4p.
显然,满足|OQ|= |AB|,此时Q、H重合,∴点Q在⊙H上.
如直线AB与x轴不垂直,设直线AB:y=tanα(x-2p),x= ,代入:y=tanα• -2ptanα.即
tanα•y2-2py-4p2tanα=0.此...
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(1)当AB⊥x轴时,直线AB的方程为x=2p,代入y2=2px;y2=4p2,y=±2p,∴|AB|=|y1-y2|=4p.
显然,满足|OQ|= |AB|,此时Q、H重合,∴点Q在⊙H上.
如直线AB与x轴不垂直,设直线AB:y=tanα(x-2p),x= ,代入:y=tanα• -2ptanα.即
tanα•y2-2py-4p2tanα=0.此方程有不同二实根y1y2,∴y1+y2= ,y1y2=-4p2.
=x1x2+y1y2= .
∴ ,故点O仍在以AB为直径的圆上.
收起
设AB:y=k(x-2p) A(x1,y1) B(x2,y2)
联立方程组:y=k(x-2p)
y2=2px 得x1x2=4p2 y1y2=-4p2
向量OA*向量OB=x1x2+y1y2=0
所以角AOB=90°
所以o(即抛物线的顶点)在圆上