如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=BC=½PA,点O,D分别是AC,PC的中点,OP⊥底面ABC
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/14 12:51:48
![如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=BC=½PA,点O,D分别是AC,PC的中点,OP⊥底面ABC](/uploads/image/z/14152522-58-2.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E5%9C%A8%E4%B8%89%E6%A3%B1%E9%94%A5P-ABC%E4%B8%AD%2CAB%E2%8A%A5BC%2CAB%EF%BC%9DBC%EF%BC%9D%26%23189%3BPA%2C%E7%82%B9O%2CD%E5%88%86%E5%88%AB%E6%98%AFAC%2CPC%E7%9A%84%E4%B8%AD%E7%82%B9%2COP%E2%8A%A5%E5%BA%95%E9%9D%A2ABC)
如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=BC=½PA,点O,D分别是AC,PC的中点,OP⊥底面ABC
如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=BC=½PA,点O,D分别是AC,PC的中点,OP⊥底面ABC
如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=BC=½PA,点O,D分别是AC,PC的中点,OP⊥底面ABC
(Ⅰ)∵O、D分别为AC、PC的中点,
∴OD∥PA
又PA平面PAB,
∴OD∥平面PAB
(Ⅱ)∵AB⊥BC,OA=OC
∴OA=OB=OC
又∴OP⊥平面ABC,
∴PA=PB=PC.
取BC中点E,连结PE,则BC⊥平面POE.
作OF⊥PE于F,连结DF,则OF⊥平面PBC.∠ODF是OD与平面PBC所成的角.
又OD∥PA,
∴PA与平面PBC所成角的大小等于∠ODF.
在Rt△ODF中,
sin∠ODF=.
∴PA与平面PBC所成的角为arcsin.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,OF⊥平面PBC,
∴F是O在平面PBC内的射影.
∵D是PC的中点
若点F是△PBC的重心.
则B、F、D三点共线,
∴直线OB在平面PBC内的射影为直线BD.
∵OB⊥PC,
∴PC⊥BD,
∴PB=BC,即k=1
反之,当k=1时,三棱锥O-PBC为正三棱锥,
∴O在平面PBC内的射影为△PBC的重心
方法二:
∵OP⊥平面ABC,OA=OC,AB=BC,
∴OA⊥OB,OA⊥OP,OB⊥OP.
以O为原点,射线OP为非负z轴,建立空间直角坐标系O-xyz(如图),
设AB=a,则A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0).
设OP=h,则P(0,0,h).
(Ⅰ)∵D为PC的中点,
∴=(-,0,)
又,
∴
∴∥.
∴OD∥平面PAB
(Ⅱ)∵k=,即PA=2a
∴h=,
∴=(),
可求得平面PBC的法向量=(1,-1,-),
∴cos==
设PA与平面PBC所成的角为θ
则sinθ=|cos|=,
∴PA与平面PBC所成的角为arcsin
(Ⅲ)△PBC的重心G(-a,a,h),
∴=(-a,a,h)
∵OG⊥平面PBC,
∴⊥
又=(0,a,-h)
∴·=a2-h2=0
∴h=a.
∴PA==a,即k=1.
反之,当k=1时,三棱锥O-PBC为正三棱锥,
∴O在平面PBC内的射影为△PBC的重心.