同角三角比是否存在α∈(0,90),使关于x的方程:x^2-4xcosα+2=0和x^2-4xsinα-2=0有一个根相等?如果不存在,请说明理由
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/21 03:39:33
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同角三角比是否存在α∈(0,90),使关于x的方程:x^2-4xcosα+2=0和x^2-4xsinα-2=0有一个根相等?如果不存在,请说明理由
同角三角比
是否存在α∈(0,90),使关于x的方程:x^2-4xcosα+2=0和x^2-4xsinα-2=0有一个根相等?如果不存在,请说明理由
同角三角比是否存在α∈(0,90),使关于x的方程:x^2-4xcosα+2=0和x^2-4xsinα-2=0有一个根相等?如果不存在,请说明理由
设第一条方程的解为a和k 第二条为b和k 有韦达定理列方程组得k=2cosa+2sina a和b恒不相等
易知k=2cosa+√(4cos^2a-2) 或2cosa-√(4cos^2a-2)
或 =2sina+√(4sin^2a+2)或2sina+√(4sin^2a+2)
解得只有sina=0.5
a=30
因为 x^2-4x cosa+2=0 , 所以 cosa = (x^2+2)/4x ;
又因为 x^2-4x sina-2=0 , 所以 sina = (x^2-2)/4x .
又: (cosa)^2+(sina)^2=1 , 所以 ( (x^2+2)/4x)^2 ((x^2-2)/4x)^2=1 ,解得:
x^2=4+√3 或4-√3.
当x^2=4+√3 ...
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因为 x^2-4x cosa+2=0 , 所以 cosa = (x^2+2)/4x ;
又因为 x^2-4x sina-2=0 , 所以 sina = (x^2-2)/4x .
又: (cosa)^2+(sina)^2=1 , 所以 ( (x^2+2)/4x)^2 ((x^2-2)/4x)^2=1 ,解得:
x^2=4+√3 或4-√3.
当x^2=4+√3 时 , x=1+√3. 代人原来的两个式子,得:cosa=√3/2 且 sina=0.5
又a在0到90度之间,故a=30度. 因此存在所求的a. 证明完毕.
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