作业帮已知非零实数ABC满足A+B+C=0求证a^3+b^3+c^3=3abc
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 09:10:02
已知非零实数ABC满足A+B+C=0求证a^3+b^3+c^3=3abc
已知非零实数ABC满足A+B+C=0
求证a^3+b^3+c^3=3abc
已知非零实数ABC满足A+B+C=0求证a^3+b^3+c^3=3abc
a+b+c=0
所以a+b=-c
这样：
a^3+b^3
=(a+b)(a^2-ab+b^2)
=-c(a^2-ab+b^2)
=-c((a+b)^2-3ab)
=-c(c^2)-3ab)
=3abc-c^3
即a^3+b^3=3abc-c^3
也就是a^3+b^3+c^3=3abc
a^3+b^3+c^3-3abc
=(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3+c^3)-(3abc+3a^2b+3ab^2)
=[(a+b)^3+c^3]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a^2+b^2+2ab-ac-bc+c^2)-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=0
所以：a^3+b^3+c^3=3abc
所证等式等价于
a(a^2-bc)+b(b^2-ac)+c(c^2-ab)=0;-----（1）
因为a+b+c=0,即a=-(b+c);
a^2-bc=(b+c)^2-bc
=b^2+bc+c^2;
类似的b^2-ac=a^2+ac+c^2
c^2-ab=a^2+ab+b^2;
将这三个式子代入
a(a^2-bc)+b(b^2-ac...
全部展开
所证等式等价于
a(a^2-bc)+b(b^2-ac)+c(c^2-ab)=0;-----（1）
因为a+b+c=0,即a=-(b+c);
a^2-bc=(b+c)^2-bc
=b^2+bc+c^2;
类似的b^2-ac=a^2+ac+c^2
c^2-ab=a^2+ab+b^2;
将这三个式子代入
a(a^2-bc)+b(b^2-ac)+c(c^2-ab)
=3abc+ab(b+a)+ac(a+c)+bc(b+c)
=3abc+(-abc)+(-abc)+(-abc)
=0;
所以（1）式成立，即原等式成立，得证
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看错了