已知X平方+Y平方=1,对于任意实数X,Y恒有不等式X+Y-K大于等于0,求K的取值范围.请给出详细解题方法,很感谢大家
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/20 11:14:23
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已知X平方+Y平方=1,对于任意实数X,Y恒有不等式X+Y-K大于等于0,求K的取值范围.请给出详细解题方法,很感谢大家
已知X平方+Y平方=1,对于任意实数X,Y恒有不等式X+Y-K大于等于0,求K的取值范围
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请给出详细解题方法,很感谢大家
已知X平方+Y平方=1,对于任意实数X,Y恒有不等式X+Y-K大于等于0,求K的取值范围.请给出详细解题方法,很感谢大家
令x=cosa
y^2=1-(cosa)^2=(sina)^2
sinx的值域关于原点对称
所以可以令y=sinx
x+y=sina+cosa=√2sin(a+π/4)
x+y-k>=0
x+y>=k
√2sin(a+π/4)>=k
因为√2sin(a+π/4)最小值=-√2
所以k
只要求x+y的最小值,设x=cos θ,y=sin θ,可以很容易的得到 -根号2,即
K<= -根号2
x+y-k>=0
运用基本不等式x^2+y^2>=2xy则2(x^2+y^2)>=(x+y)^2
k<=x+y=sqr((x+y)^2)<=sqr(2(x^2+y^2))=sqr2
等号当且仅当k=x+y,x=y时成立
注:sqr是开根号的意思,<=是小于等于的意思.若不明白,再联系.
设x=sin& y=cos& -360°<=&<=360°
sin&+cos&-k>=0
k<=sin&+cos&=根号下2*sin(&+45°)
联立x^2+y^2=1和x+y-k=0,得2x^2-2kx+k^2-1=0,再令(2k)^2-4*2*(k^2-1)=0,得k=根2或-根2,所以-根2
结合图形,X平方+Y平方=1得图象为单位圆,X+Y-K大于等于0为直线Y=-X+K上方区域,<= -根号2