如图所示,在△ABC中,∠CAB=90°,AD ⊥BC于D,BE是∠ABC的平分线,交AD于F,求证:DF/AF=AE/EC
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/22 08:24:15
![如图所示,在△ABC中,∠CAB=90°,AD ⊥BC于D,BE是∠ABC的平分线,交AD于F,求证:DF/AF=AE/EC](/uploads/image/z/1646924-68-4.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%E6%89%80%E7%A4%BA%2C%E5%9C%A8%E2%96%B3ABC%E4%B8%AD%2C%E2%88%A0CAB%3D90%C2%B0%2CAD+%E2%8A%A5BC%E4%BA%8ED%2CBE%E6%98%AF%E2%88%A0ABC%E7%9A%84%E5%B9%B3%E5%88%86%E7%BA%BF%2C%E4%BA%A4AD%E4%BA%8EF%2C%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9ADF%2FAF%3DAE%2FEC)
如图所示,在△ABC中,∠CAB=90°,AD ⊥BC于D,BE是∠ABC的平分线,交AD于F,求证:DF/AF=AE/EC
如图所示,在△ABC中,∠CAB=90°,AD ⊥BC于D,BE是∠ABC的平分线,交AD于F,求证:DF/AF=AE/EC
如图所示,在△ABC中,∠CAB=90°,AD ⊥BC于D,BE是∠ABC的平分线,交AD于F,求证:DF/AF=AE/EC
证明:
做EG⊥BC于G
∵BE是角B的平分线
∴AE=GE .(1)
∵AD⊥BC
∴角FAB=90°-角B=角C
又:角CBE=角ABF
∴△CBE∽△ABF
∴AF/EC=BF/BE .(2)
∵FD⊥BC,EG⊥BC
∴△BDF∽△BGE
∴DF/GE=BF/BE .(3)
由(2)、(3)得:
AF/EC=DF/GE .(4)
将(1)代入(4)得:
AF/EC=DF/AE
∴DF/AF=AE/EC
证明:
因为 ∠CAB=90°, AD ⊥BC于D
所以 ∠ CAB=∠ADB=90,
因为 ∠ABD为公共角
所以△ABD∽△CBA
所以AB/BD=CB/BA
因为BE是∠ABC的平分线
所以在△ABD中,AB/BD=AF/DF(角平分线定理)
所以AF/DF=CB/BA
同理在△ABC中,CB/AB=CE/EA(角平分线...
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证明:
因为 ∠CAB=90°, AD ⊥BC于D
所以 ∠ CAB=∠ADB=90,
因为 ∠ABD为公共角
所以△ABD∽△CBA
所以AB/BD=CB/BA
因为BE是∠ABC的平分线
所以在△ABD中,AB/BD=AF/DF(角平分线定理)
所以AF/DF=CB/BA
同理在△ABC中,CB/AB=CE/EA(角平分线定理)
所以AF/DF=CE/AE
即DF/AF=AE/EC
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