一道“超难”数学题 已知三角形ABC中,BC>AC,CH是AB上的高,且AC^2/BC^2=AH/BH.试证∠A+∠B=90°或∠A-∠B=90°.【图自备】13256447050这题 图本来就要自己画 要是图画出来
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/23 14:12:50
![一道“超难”数学题 已知三角形ABC中,BC>AC,CH是AB上的高,且AC^2/BC^2=AH/BH.试证∠A+∠B=90°或∠A-∠B=90°.【图自备】13256447050这题 图本来就要自己画 要是图画出来](/uploads/image/z/1690218-18-8.jpg?t=%E4%B8%80%E9%81%93%E2%80%9C%E8%B6%85%E9%9A%BE%E2%80%9D%E6%95%B0%E5%AD%A6%E9%A2%98+%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2ABC%E4%B8%AD%2CBC%3EAC%2CCH%E6%98%AFAB%E4%B8%8A%E7%9A%84%E9%AB%98%2C%E4%B8%94AC%5E2%2FBC%5E2%3DAH%2FBH.%E8%AF%95%E8%AF%81%E2%88%A0A%2B%E2%88%A0B%3D90%C2%B0%E6%88%96%E2%88%A0A-%E2%88%A0B%3D90%C2%B0.%E3%80%90%E5%9B%BE%E8%87%AA%E5%A4%87%E3%80%9113256447050%E8%BF%99%E9%A2%98+%E5%9B%BE%E6%9C%AC%E6%9D%A5%E5%B0%B1%E8%A6%81%E8%87%AA%E5%B7%B1%E7%94%BB+%E8%A6%81%E6%98%AF%E5%9B%BE%E7%94%BB%E5%87%BA%E6%9D%A5)
一道“超难”数学题 已知三角形ABC中,BC>AC,CH是AB上的高,且AC^2/BC^2=AH/BH.试证∠A+∠B=90°或∠A-∠B=90°.【图自备】13256447050这题 图本来就要自己画 要是图画出来
一道“超难”数学题
已知三角形ABC中,BC>AC,CH是AB上的高,且AC^2/BC^2=AH/BH.试证∠A+∠B=90°或∠A-∠B=90°.
【图自备】
13256447050
这题 图本来就要自己画 要是图画出来
一道“超难”数学题 已知三角形ABC中,BC>AC,CH是AB上的高,且AC^2/BC^2=AH/BH.试证∠A+∠B=90°或∠A-∠B=90°.【图自备】13256447050这题 图本来就要自己画 要是图画出来
解析:1)当A角为锐角时,
∵cosA=AH/AC,cosB=BH/BC
∴cosA/cosB=AH*BC/BH*AC
AC^2/BC^2=AH/BH
∴cosA/cosB=AC^2/BC^2*BC/AC=AC/BC
又∵BC/sinA=AC/sinB,即AC/BC=sinB/sinA,
∴cosA/cosB=sinB/sinA
sinAcosA=sinBcosB
sin2A=sin2B
∵BC>AC,∴∠A>∠B
2A=180°-2B
即A=90°-B
∴∠A+∠B=90°
2)当A角为钝角时,
∵cosA=-AH/AC,cosB=BH/BC
∴cosA/cosB=-AH*BC/BH*AC
AC^2/BC^2=AH/BH
∴cosA/cosB=-AC^2/BC^2*BC/AC=-AC/BC
又∵BC/sinA=AC/sinB,即AC/BC=sinB/sinA,
∴-cosA/cosB=sinB/sinA
-sinAcosA=sinBcosB
-sin2A=sin2B
sin2A=-sin2B=sin(180+2B)
即2A=180°+2B
∴∠A-∠B=90°
由题意,
AH/BH
=三角形ACH面积/三角形BCH面积
=AC*CH*sin∠ACH/BC*CH*sin∠BCH
=AC*sin∠ACH/BC*sin∠BCH
=AC^2/BC^2
而sin∠ACH=sin(90度-∠A)或sin(∠A-90度)
=cos∠A或-cos∠A
AC/BC=sin∠B/sin∠A
可得所求
没有图,不干活;稀奇!
1)当A角为锐角时,
∵cosA=AH/AC,cosB=BH/BC
∴cosA/cosB=AH*BC/BH*AC
AC^2/BC^2=AH/BH
∴cosA/cosB=AC^2/BC^2*BC/AC=AC/BC
又∵BC/sinA=AC/sinB,即AC/BC=sinB/sinA,
∴cosA/cosB=sinB/sinA
sinAcosA=...
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1)当A角为锐角时,
∵cosA=AH/AC,cosB=BH/BC
∴cosA/cosB=AH*BC/BH*AC
AC^2/BC^2=AH/BH
∴cosA/cosB=AC^2/BC^2*BC/AC=AC/BC
又∵BC/sinA=AC/sinB,即AC/BC=sinB/sinA,
∴cosA/cosB=sinB/sinA
sinAcosA=sinBcosB
sin2A=sin2B
∵BC>AC,∴∠A>∠B
2A=180°-2B
即A=90°-B
∴∠A+∠B=90°
2)当A角为钝角时,
∵cosA=-AH/AC,cosB=BH/BC
∴cosA/cosB=-AH*BC/BH*AC
AC^2/BC^2=AH/BH
∴cosA/cosB=-AC^2/BC^2*BC/AC=-AC/BC
又∵BC/sinA=AC/sinB,即AC/BC=sinB/sinA,
∴-cosA/cosB=sinB/sinA
-sinAcosA=sinBcosB
-sin2A=sin2B
sin2A=-sin2B=sin(180+2B)
即2A=180°+2B
∴∠A-∠B=90°
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