证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为一个常量.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/11 15:01:32

证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为一个常量.
证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为一个常量.

证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为一个常量.
已知：等腰三角形ABC中,AB＝AC,BC上任意点D,DE⊥AB,DF⊥AC,BH⊥AC
求证： DE＋DF＝BH
证法一：
连接AD
则△ABC的面积＝AB*DE/2＋AC*DF/2＝(DE＋DF)*AC/2
而△ABC的面积＝BH*AC/2
所以：DE＋DF＝BH
即：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰上的高
证法二：
作DG⊥BH,垂足为G
因为DG⊥BH,DF⊥AC,BH⊥AC
所以四边形DGHF是矩形
所以GH＝DF
因为AB＝AC
所以∠EBD＝∠C
因为GD//AC
所以∠GDB＝∠C
所以∠EBD＝∠GDB
又因为BD＝BD
所以△BDE≌△DBG（ASA）
所以DE＝BG
所以DE＋DF＝BG＋GH＝BH
证法三：
提示：
过B作直线DF的垂线,垂足为M
运用全等三角形同样可证
另外运用三角函数也能进行证明
图如下

等腰三角形ABC,AB=AC,BC上的点D,DE⊥AB,DF⊥AC
连AD,
则，ABC的面积=AB*DE/2+AC*DF/2=(DE+DF)*AB/2
而ABC的面积=腰上的高*AB/2
所以，
DE+DF=腰上的高
即：
等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为常量：腰上的高

底边上任何一点向两腰做垂线，

该垂线和底边的夹角相等（因为等腰三角形两个底角相等）设为a

则到两腰距离之和为 L1*cosa+L2*cosa=(L1+L2)*cosa

L1+L2即为底边长，是常数，而 a=180-b （b为底角）也是常数

因此等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和与该点位置无关，为一个常量

另一种：

如图

等腰三角形ABC，AC=BC，D为AB上任意一点

则有D到AC和BC的距离分别为

AD·sinA于BD·sinB

∵AC=BC

∴∠A=∠B

∴sinA=sinB

∴AD·sinA+BD·sinB=（AD+AB）·sinA=AB·sinA

∵AB和∠A都为常量

∴AB·sinA 也为常量