作业帮利用数学归纳法证明(n∈N*):a^（n+1）+(a+1)^（2n-1）能被a^2+a+1整除
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/14 08:21:28
利用数学归纳法证明(n∈N*):a^（n+1）+(a+1)^（2n-1）能被a^2+a+1整除
利用数学归纳法证明(n∈N*):a^（n+1）+(a+1)^（2n-1）能被a^2+a+1整除
利用数学归纳法证明(n∈N*):a^（n+1）+(a+1)^（2n-1）能被a^2+a+1整除
证明：（1）当n=1时,a^(n+1)+(a+1)^(2n-1)=2^2+a+1
显然,a^(n+1)+(a+1)^(2n-1)能被a^2+a+1整除；
（2）假设当n=k时,a^(k+1)+(a+1)^(2k-1)能被a^2+a+1整除
那么,当n=k+1时,
a^(n+1)+(a+1)^(2n-1)=a^(k+2)+(a+1)^(2k+1)
=a^(k+2)+a(a+1)^(2k-1)-a(a+1)^(2k-1)+(a+1)^(2k+1)
=a[a^(k+1)+(a+1)^(2k-1)]+(a+1)^(2k-1)[(a+1)^2-a]
=a[a^(k+1)+(a+1)^(2k-1)]+(a+1)^(2k-1)(a^2+a+1)
∵由假设知a^(k+1)+(a+1)^(2k-1)能被a^2+a+1整除
∴a[a^(k+1)+(a+1)^(2k-1)]能被a^2+a+1整除
∵(a+1)^(2k-1)(a^2+a+1)包含有a^2+a+1因式
∴(a+1)^(2k-1)(a^2+a+1)也能被a^2+a+1整除
故当n=k+1时,a^(n+1)+(a+1)^(2n-1)同样能被a^2+a+1整除
即 由数学归纳法知,当n∈N*时,a^(n+1)+(a+1)^(2n-1)能被a^2+a+1整除.
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