如图,倾斜角为a的直线经过抛物线y^2=8x的焦点F,且与抛物线交于A、B两点若a为锐角,作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P,证明|FP|-|FP|cos2a为定值,并求此定值
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/19 13:57:49
![如图,倾斜角为a的直线经过抛物线y^2=8x的焦点F,且与抛物线交于A、B两点若a为锐角,作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P,证明|FP|-|FP|cos2a为定值,并求此定值](/uploads/image/z/2313260-44-0.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E5%80%BE%E6%96%9C%E8%A7%92%E4%B8%BAa%E7%9A%84%E7%9B%B4%E7%BA%BF%E7%BB%8F%E8%BF%87%E6%8A%9B%E7%89%A9%E7%BA%BFy%5E2%3D8x%E7%9A%84%E7%84%A6%E7%82%B9F%2C%E4%B8%94%E4%B8%8E%E6%8A%9B%E7%89%A9%E7%BA%BF%E4%BA%A4%E4%BA%8EA%E3%80%81B%E4%B8%A4%E7%82%B9%E8%8B%A5a%E4%B8%BA%E9%94%90%E8%A7%92%2C%E4%BD%9C%E7%BA%BF%E6%AE%B5AB%E7%9A%84%E5%9E%82%E7%9B%B4%E5%B9%B3%E5%88%86%E7%BA%BFm%E4%BA%A4x%E8%BD%B4%E4%BA%8E%E7%82%B9P%2C%E8%AF%81%E6%98%8E%7CFP%7C-%7CFP%7Ccos2a%E4%B8%BA%E5%AE%9A%E5%80%BC%2C%E5%B9%B6%E6%B1%82%E6%AD%A4%E5%AE%9A%E5%80%BC)
如图,倾斜角为a的直线经过抛物线y^2=8x的焦点F,且与抛物线交于A、B两点若a为锐角,作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P,证明|FP|-|FP|cos2a为定值,并求此定值
如图,倾斜角为a的直线经过抛物线y^2=8x的焦点F,且与抛物线交于A、B两点
若a为锐角,作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P,证明|FP|-|FP|cos2a为定值,并求此定值
如图,倾斜角为a的直线经过抛物线y^2=8x的焦点F,且与抛物线交于A、B两点若a为锐角,作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P,证明|FP|-|FP|cos2a为定值,并求此定值
用点差法+共线.A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点M(xo,yo),焦点F(2,0).则有x1+x2=2xo,y1+y2=2yo,又A,B在曲线上有y1^2=8x1,y2^2=8x2,两式相减得AB斜率k=(y1-y2)/(x1-x2)=8/(y1+y2)=4/yo=tana,得yotana=4.又AB,MP共线得k(AB)=k(MP),即k=yo/(xo-2)=4/yo,得yo^2=4xo-8.易得AB中垂线方程y=-(1/tana)(x-xo)+yo,令y=0,得P点横坐标xP=xo+yotana=xo+4.于是得|FP|=xP-xF=xo+2.由于1-cos2a=1-(cos^2a-sin^2a)=1-(cos^2a-sin^2a)/(cos^2a+sin^2a)=1-(1-tan^2a)/(1+tan^2a),再将tana=4/yo,yo^2=4xo-8代入整理得1-cos2a=32/(16+yo^2)=32/(16+4xo-8)=8/(xo+2),从而有|PF|-|PF|cos2a=|PF|(1-cos2a)=(xo+2)*8/(xo+2)=8(定值)得证.
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