极坐标解题:抛物线方程y^2=4x.F是焦点,过F做直线l交抛物线于点A、B,与y轴交于点PPF向量=λ1*FA向量= λ2*FB向量,证λ1+λ2为定值,并求出该定值.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/20 13:15:35
![极坐标解题:抛物线方程y^2=4x.F是焦点,过F做直线l交抛物线于点A、B,与y轴交于点PPF向量=λ1*FA向量= λ2*FB向量,证λ1+λ2为定值,并求出该定值.](/uploads/image/z/2409930-18-0.jpg?t=%E6%9E%81%E5%9D%90%E6%A0%87%E8%A7%A3%E9%A2%98%EF%BC%9A%E6%8A%9B%E7%89%A9%E7%BA%BF%E6%96%B9%E7%A8%8By%5E2%3D4x.F%E6%98%AF%E7%84%A6%E7%82%B9%2C%E8%BF%87F%E5%81%9A%E7%9B%B4%E7%BA%BFl%E4%BA%A4%E6%8A%9B%E7%89%A9%E7%BA%BF%E4%BA%8E%E7%82%B9A%E3%80%81B%2C%E4%B8%8Ey%E8%BD%B4%E4%BA%A4%E4%BA%8E%E7%82%B9PPF%E5%90%91%E9%87%8F%3D%CE%BB1%2AFA%E5%90%91%E9%87%8F%3D+%CE%BB2%2AFB%E5%90%91%E9%87%8F%2C%E8%AF%81%CE%BB1%2B%CE%BB2%E4%B8%BA%E5%AE%9A%E5%80%BC%2C%E5%B9%B6%E6%B1%82%E5%87%BA%E8%AF%A5%E5%AE%9A%E5%80%BC.)
极坐标解题:抛物线方程y^2=4x.F是焦点,过F做直线l交抛物线于点A、B,与y轴交于点PPF向量=λ1*FA向量= λ2*FB向量,证λ1+λ2为定值,并求出该定值.
极坐标解题:抛物线方程y^2=4x.F是焦点,过F做直线l交抛物线于点A、B,与y轴交于点P
PF向量=λ1*FA向量= λ2*FB向量,证λ1+λ2为定值,并求出该定值.
极坐标解题:抛物线方程y^2=4x.F是焦点,过F做直线l交抛物线于点A、B,与y轴交于点PPF向量=λ1*FA向量= λ2*FB向量,证λ1+λ2为定值,并求出该定值.
先画出草图.焦点F(1,0).设过焦点F的直线l方程为:
y=k(x-1)
令x=0得y=-k,故有P(0,-k)
代入y^2=4x得
y^2-4/k*y-4=0
设A(x1,y1),B(x2,y2)
依韦达定理有
y1+y2=4/k
y1y1=-4
由于点P(0,-k),A(x1,y1),F(1,0),B(x2,y2)死点共线,故每个向量只需考虑对应纵坐标的差值.
因此由PF向量=λ1*FA向量= λ2*FB向量得
0-(-k)=λ1*(y1-0)= λ2*(y2-0)
得λ1+λ2=k/y1+k/y2
=k(y1+y2)/(y1y2)
=k(4/k)/(-4)=-1
故λ1+λ2=-1为定值.
用极坐标法:
y^2=4x
焦点F(1,0)
将曲线y^2=4x左移1个单位,得y^2=4(x+1)
(ρsinθ)^2=4(ρcosθ+1)
(sinθ)^2*ρ^2-4cosθ*ρ-4=0
ρ=(2cosθ+2)/sin^2 θ (ρ=(2cosθ-2)/sin^2 θ≤0舍去)
|PF|=1/cosθ
|FA|=[2cos(θ+π)+2)/sin^2 (θ+π)=(-2cosθ+2)/sin^2 θ
|FB|=(2cosθ+2)/sin^2 θ
故由PF向量=λ1*FA向量= λ2*FB向量得
-1/cosθ=λ1*(-2cosθ+2)/sin^2 θ= λ2*(2cosθ+2)/sin^2 θ
得λ1+λ2=-sin^2 θ/[cosθ(-2cosθ+2)]-sin^2 θ/[cosθ(2cosθ+2)]
=-1
圆锥曲线去好好学学!