四面体ABCD中,O,E分别是BD,BC的中点且CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=根号2求异面直线AB,CD所成的角的余弦值
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/20 13:34:44
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四面体ABCD中,O,E分别是BD,BC的中点且CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=根号2求异面直线AB,CD所成的角的余弦值
四面体ABCD中,O,E分别是BD,BC的中点且CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=根号2
求异面直线AB,CD所成的角的余弦值
四面体ABCD中,O,E分别是BD,BC的中点且CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=根号2求异面直线AB,CD所成的角的余弦值
由题易知∠BAD=90.∠AOC=90.则面ABD⊥面BCD.
沿AB,AD建立空间直角坐标系.A为原点.AB为X轴.AD为Y轴.
则A(0,0,0)
B(√2,0,0)
D(0,√2,0)
C(√2/2,√2/2,√3)
可得
向量AB={√2,0,0}
向量CD={-√2/2,√2/2,√3}
所以AB,CD所成的角COSΦ=(-√2*√2/2)/(√2*2)=-√2/4
Φ=ARCCOS(-√2/4)
-1/2√2
法一:
取AC中点F,连接OF、OE、EF
∵E、F分别是BC、AC的中点
∴EF是△ABC的中位线
∴EF∥AB,且EF=1/2AB=√2/2
∵O、E分别是BD、BC的中点
∴OE∥CD,且OE=1/2CD=1
∴异面直线AB与CD所成的角等于∠OEF(或其补角)
又OF是Rt△AOC斜边上的中线
∴OF=1/2AC=1<...
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法一:
取AC中点F,连接OF、OE、EF
∵E、F分别是BC、AC的中点
∴EF是△ABC的中位线
∴EF∥AB,且EF=1/2AB=√2/2
∵O、E分别是BD、BC的中点
∴OE∥CD,且OE=1/2CD=1
∴异面直线AB与CD所成的角等于∠OEF(或其补角)
又OF是Rt△AOC斜边上的中线
∴OF=1/2AC=1
∴等腰△OEF中,cos∠OEF=(1/2EF)/OE=√2/4
法二:
以O为原点,建立空间直角坐标系
则B(1,0,0),D(-1,0,0),C(0,√3,0),A(0,0,1),E(1/2,√3/2,0)
向量BA=(-1,0,1),向量CD=(-1,-√3,0)
∴cos<向量BA,向量CD>=(向量BA•向量CD)/(|BA| |CD|)=√2/4
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