已知a大于0、b大于0,且a+b=1,求证(1+1/a)(1+1/b)大于等于9

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/03 11:02:11
已知a大于0、b大于0,且a+b=1,求证(1+1/a)(1+1/b)大于等于9

已知a大于0、b大于0,且a+b=1,求证(1+1/a)(1+1/b)大于等于9
已知a大于0、b大于0,且a+b=1,求证(1+1/a)(1+1/b)大于等于9

已知a大于0、b大于0,且a+b=1,求证(1+1/a)(1+1/b)大于等于9
证:  1>a>0,1>b>0
      (1+1/a)(1+1/b)-9=1+1/(ab)+1/a+1/b-9=1/(ab)+1/a+1/b-8=(1+a+b)/(ab)-8=2(a+b)/(ab)-8
      a+b=1=(a+b)(a+b)

=1+1/a+1/b+1/ab=1+(a+b+1)/ab=1+2/ab
=1+2/a(1-a)
由于a(1-a)<1/4
所以,原式大于9

(1+1/a)(1+1b)=(1+(a+b)/a)(1+(a+b)/b)=(2+b/a)(2+a/b)=5+2(a/b+b/a)>=9

(1+1/a)(1+1/b)=(1+(a+b)/a)(1+(a+b)/b)=(2+b/a)*(2+b/a)=5+2(a/b+b/a)>=5+2*2根号(a/b*b/a)=9,且a=b=1/2是取最小值9