已知平面α∥平面β,A,C∈α,B,D∈β,点E,F分别在线段AB,CD上,且AE/EB=CF/FD,已知平面α∥平面β,A,C∈α,B,D∈β,点E,F分别在线段AB,CD上,且AE/EB=CF/FD,求证:EF平行β,不用画图,直接谢过程就行,辅助线咋连
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/25 20:19:48
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已知平面α∥平面β,A,C∈α,B,D∈β,点E,F分别在线段AB,CD上,且AE/EB=CF/FD,已知平面α∥平面β,A,C∈α,B,D∈β,点E,F分别在线段AB,CD上,且AE/EB=CF/FD,求证:EF平行β,不用画图,直接谢过程就行,辅助线咋连
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过A作AQ∥CD,交平面β于Q,连接BQ、DQ,则DQ∥AC,故四边形AQDC为平行四边形,得AQ=CD;过F作FP∥AC,交AQ于P,则四边形APFC也是平行四边形,故AP=CF,PF∥AC∥QD,进而得 PQ=FD;所以 AE/ED=CF/FD=AP/PQ,于是得 EP∥BQ,所以 平面PFE∥平面β,所以 EF∥β.
证法一:如图(1),设E与CD确定平面CEF,它与平面β交于GD,AB与CG确定的平面交α于AC,交β于GB,则由面面平行的性质定理可得AC∥GB.
∵AE=BE,∴CE=GE.
又∵F是CD的中点,
∴EF是△CGD的中位线,即EF∥GD,GD∈β.
∴EF∥β.
分析二:证明线面平行,除了由线线平行外,还可利用面面平行证明,即过EF找或作一个平面,使之与...
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证法一:如图(1),设E与CD确定平面CEF,它与平面β交于GD,AB与CG确定的平面交α于AC,交β于GB,则由面面平行的性质定理可得AC∥GB.
∵AE=BE,∴CE=GE.
又∵F是CD的中点,
∴EF是△CGD的中位线,即EF∥GD,GD∈β.
∴EF∥β.
分析二:证明线面平行,除了由线线平行外,还可利用面面平行证明,即过EF找或作一个平面,使之与β平行,E、F分别是AB、CD的中点仍然是解决问题的重要突破口.
证法二:如图(2),连结AD,取AD中点G,连结EG、FG.
∵EG∥BD,BD∈β,∴EG∥β.同理,GF∥α.
设平面ADC交β于DH.∵α∥β,∴AC∥DH.
∴FG∥DH.∴GF∥β.
∵EG∩GF=G,∴平面EGF∥β.
∵EF平面EGF,∴EF∥β.
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