如图,已知M为三角形ABc内任一点,MD垂直AB,ME⊥BC,MF垂直AC,且BD=BE,CE=CF,求证:AD=AF
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/21 19:10:30
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如图,已知M为三角形ABc内任一点,MD垂直AB,ME⊥BC,MF垂直AC,且BD=BE,CE=CF,求证:AD=AF
如图,已知M为三角形ABc内任一点,MD垂直AB,ME⊥BC,MF垂直AC,且BD=BE,CE=CF,求证:AD=AF
如图,已知M为三角形ABc内任一点,MD垂直AB,ME⊥BC,MF垂直AC,且BD=BE,CE=CF,求证:AD=AF
证明:连接MA,MB,MC.用勾股定理
BD=BE,CE=CF
BD^2=DG^2+BG^2
BE^2=Bk^2+EK^2
CE^2=Ck^2+EK^2
CF^2=CH^2+FH^2
DG^2+BG^2=Bk^2+EK^2 (1)
Ck^2+EK^2=CH^2+FH^2 (2)
(1)+(2)得
DG^2+BG^2+CK^2=BK^2+CH^2+FH^2 (3)
MA^2+MB^2+MC^2-MG^2-MH^2-MK^2=
MA^2+MB^2+MC^2 -MG^2-MH^2-MK^2
(MA^2-MG^2)+(MB^2-MK^2)+(MC^2-MH^2)=
(MA^2-MH^2)+(MB^2-MG^2)+(MC^2-MK^2)
AG^2+BK^2+CH^2=AH^2+BG^2+CK^2 (4)
(3)+(4)得
AG^2+DG^2=AH^2+FH^2
AD^2=AF^2
所以AD=AF
设MD,ME,MF分别交AC,BC,AB于P,Q,R,连接MA.MB,MC
由勾股定理
MB^2=MP^2+BP^2=MR^2+BR^2 (1)
BD^2=MP^2+PD^2=BF^2=BR^2+FR^2 (2)
CM^2=CP^2++MP^2=CQ^2+MQ^2 (3)
CD^2=PD^2+PC^2=CF^2=CQ^2+QF...
全部展开
设MD,ME,MF分别交AC,BC,AB于P,Q,R,连接MA.MB,MC
由勾股定理
MB^2=MP^2+BP^2=MR^2+BR^2 (1)
BD^2=MP^2+PD^2=BF^2=BR^2+FR^2 (2)
CM^2=CP^2++MP^2=CQ^2+MQ^2 (3)
CD^2=PD^2+PC^2=CF^2=CQ^2+QF^2 (4)
MA^2=MQ^2+AQ^2=AR^2+MR^2 (5)
由(1)(2)(3)(4)(5)可得
AQ^2+MQ^2=AR^2+FR^2
即AE^2=AF^2
AE=AF
收起