A是一个n阶矩阵,证明A=0的充要条件是A的转置×A=零向量,实对称矩阵A=0的充要条件是A 的平方=0

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 18:06:47

A是一个n阶矩阵,证明A=0的充要条件是A的转置×A=零向量,实对称矩阵A=0的充要条件是A 的平方=0
A是一个n阶矩阵,证明A=0的充要条件是A的转置×A=零向量,实对称矩阵A=0的充要条件是A 的平方=0

A是一个n阶矩阵,证明A=0的充要条件是A的转置×A=零向量,实对称矩阵A=0的充要条件是A 的平方=0
（1）必要性：显然成立
充分性：（反证法）假设A非0 用A'表示A的转置
又因为A'*A=0
所以A*（A'*A）=A*0
所以A=0
得证
（2）必要性：显然成立
充分性：因为A是是对称矩阵
所以A=A'
且又A^2=0
即A*A'=0
有（1）知A=0
得证

必要性是显然的
下面证明充分性
A^TA的第一行第一列的元素0等于A^T的第一行(即A的第一列的元素)分别乘A的第一列的元素的乘积之和，即A的一列元素的平方和. 由此可得A第一列元素全为0，类似地通过A^TA的第二行第二列的元素为0，可以得到A的第二列的元素全为0，类似地可以证明A的第三列，第四列，。。。，第n列的元素都为零.
若A是对称矩阵，则A^TA=A^2. 结合上一...

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A是一个n阶矩阵,证明A=0的充要条件是A的转置×A=零向量,实对称矩阵A=0的充要条件是A 的平方=0 设A为n阶矩阵,证明A^n=0的充要条件是A^(n+1)=0 A是n阶矩阵,Ax=0的有非零解的充要条件是|A|=0,为什么?能够证明么? 设n阶方阵A不为0.证明有一个n阶非零矩阵B使AB=0的充要条件是|B|=0 设A,B为两个n阶正定矩阵,证明:AB为正定矩阵的充要条件是AB=BA. 证明,n阶矩阵A可逆的充要条件是A的特征值全不为零. 设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m×n矩阵,证明:BTAB为正定矩阵的充要条件是rankB=n 线性代数,设A是(n≥2)阶方阵,证明A*是A的伴随矩阵,r(A*)=1的充要条件是r(A)=n-1. 设A为m*n矩阵,求证存在一个n阶矩阵B≠0,使AB=0的充要条件是r(A) 设A为m*n矩阵,求证存在一个n阶矩阵B≠0,使AB=0的充要条件是r(A) 证明、n阶实对称矩阵A正定的充要条件是、有m*n列满秩矩阵P、使得A=P^TP 矩阵为幂等矩阵的充要条件已知一个n阶矩阵A满足rank(A)+rank(E-A)=n,其中E为n阶单位矩阵,怎么证明A是幂等矩阵,也即证明A^2=A 设A,B是n阶实矩阵,A的特征值互逆,证明矩阵AB=BA的充要条件为A的特征值都是B的特征值 n阶矩阵A非奇异的充要条件是设A是n阶实矩阵,证明：r(A)=1的充要条件是存在n维非零列向量a,b使得 A=ab^T 设A是n阶矩阵,证明:非齐次线性方程组AX=b对于任何b都有解的充要条件是|A|不等于0.主要是必要性不太懂怎么证明. 几个证明题关于正定矩阵的若A使正定矩阵,证明A*也是正定矩阵若A,B都是n阶正定矩阵.证明A+B也是正定矩阵若A,B都是n阶正定矩阵,证明AB正定的充要条件是AB=BA设A可逆,证明ATA正定设A,B都是m×n矩阵,证明A,B等价的充要条件是r(A)=r(B)