已知函数f(x)=lnx-kx+1. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若f(x)≤0恒成立,试确定实数k的取值范围.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/22 00:24:57
![已知函数f(x)=lnx-kx+1. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若f(x)≤0恒成立,试确定实数k的取值范围.](/uploads/image/z/3736748-20-8.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%87%BD%E6%95%B0f%EF%BC%88x%EF%BC%89%EF%BC%9Dlnx%EF%BC%8Dkx%EF%BC%8B1.+%281%29%E6%B1%82%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%E7%9A%84%E5%8D%95%E8%B0%83%E5%8C%BA%E9%97%B4%EF%BC%9B+%282%29%E8%8B%A5f%28x%29%E2%89%A40%E6%81%92%E6%88%90%E7%AB%8B%2C%E8%AF%95%E7%A1%AE%E5%AE%9A%E5%AE%9E%E6%95%B0k%E7%9A%84%E5%8F%96%E5%80%BC%E8%8C%83%E5%9B%B4.)
已知函数f(x)=lnx-kx+1. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若f(x)≤0恒成立,试确定实数k的取值范围.
已知函数f(x)=lnx-kx+1. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若f(x)≤0恒成立
,试确定实数k的取值范围.
已知函数f(x)=lnx-kx+1. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若f(x)≤0恒成立,试确定实数k的取值范围.
(1)由题可知函数f(x)的定义域为(0,+∞),则f′(x)=1/x−k
①当k≤0时,f′(x)=1/x−k>0,f(x)在(0,+∞)上是增函数
②当k>0时,若x∈(0,1/k)时,有f′(x)=1/x−k>0,若x∈(1/k,+∞)时,有f′(x)=1/x−k<0,则f(x)在(0,1/k)上是增函数,在(1/k,+∞)上是减函数
(2)由(1)知当k≤0时,f(x)在(0,+∞)上是增函数
而f(1)=1-k>0,f(x)≤0不成立
故k>0
又由(1)知f(x)的最大值为f(1/k),要使f(x)≤0恒成立,则f(1/k)≤0即可
∴-lnk≤0
∴k≥1
解:
(1)
f(x)=lnx-kx+1
则
f'(x)=1/x - k=(1-kx)/x
所以
①当k=0时
f(x)增区间为(0,正无穷)
②当k<0时
令f'(x)=(1-kx)/x>0
则x增区间为(0,正无穷)
③当k>0时
增区间为(0,1/k)
(1/k,正无穷)
(2)<...
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解:
(1)
f(x)=lnx-kx+1
则
f'(x)=1/x - k=(1-kx)/x
所以
①当k=0时
f(x)增区间为(0,正无穷)
②当k<0时
令f'(x)=(1-kx)/x>0
则x增区间为(0,正无穷)
③当k>0时
增区间为(0,1/k)
(1/k,正无穷)
(2)
f(x)=lnx-kx+1<=0恒成立
即
f(x)MAX<=0恒成立
f'(x)=1/x-k=0
x=1/k
所以ln(1/k)<=0=ln1恒成立
1/k<1
k>1
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