高一数学关于两角差的余弦公式的一道题.已知函数f(X)=asinx-ncosx(a,b为常数,ab≠0,x属于R)在x=π/4处取得最小值,则函数y=f(3π/4-x)是()A.偶函数且它的图像关于点(π,0)对称B.偶函数且它的
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/22 02:00:10
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高一数学关于两角差的余弦公式的一道题.已知函数f(X)=asinx-ncosx(a,b为常数,ab≠0,x属于R)在x=π/4处取得最小值,则函数y=f(3π/4-x)是()A.偶函数且它的图像关于点(π,0)对称B.偶函数且它的
高一数学关于两角差的余弦公式的一道题.
已知函数f(X)=asinx-ncosx(a,b为常数,ab≠0,x属于R)在x=π/4处取得最小值,则函数y=f(3π/4-x)是()
A.偶函数且它的图像关于点(π,0)对称
B.偶函数且它的图像关于点(3π/2,0)对称
C.奇函数且它的图像关于点(3π/2,0)对称
D.奇函数且它的图像关于点(π,0)对称
解析如下,我看不懂,第一步就看不懂.
解析:由条件知,
-√a²+b²=asin(π/4)-bcos(π/4),
∴b-a=√2·√(a²+b²).
所以b>a且b=-a.∴a=-b且b>0.
∴f(x)=-bsinx-bcosx
=-√2 ·bsin(x=π/4(b>0).
∴f(3π/4-x)=-2bsin(π-x))
=-√2sinx(b>0).
所以函数f(3π/4)是奇函数,关于点(π,0)对称.
高一数学关于两角差的余弦公式的一道题.已知函数f(X)=asinx-ncosx(a,b为常数,ab≠0,x属于R)在x=π/4处取得最小值,则函数y=f(3π/4-x)是()A.偶函数且它的图像关于点(π,0)对称B.偶函数且它的
其实是这样的:
首先需要知道的是,对于y=asinx-bcosx这样含有两个异名函数的三角函数是可以转化成一个同名函数的,即y=asinx-bcosx=√a²+b²sin(x-z)=√a²+b²cos(x+z)
对于函数y=√a²+b²sin(x-z)=√a²+b²cos(x+z)而言,a、b为常数,那么它的最大最小值就由sin(x-z)或是cos(x+z)来决定了.
而我们知道对于三角函数y=sinX和y=cosX,最小值为y=-1
根据条件在x=π/4处取得最小值,可知当x=π/4时,sin(x-z)=cos(x+z)=-1最小,即y取得最小值,此时y=﹣1*√a²+b² =﹣√a²+b²
∴把x=π/4代回原函数就有﹣√a²+b²=asin(π/4)-bcos(π/4)了.
∴﹣√a²+b²=a*√2/2-b*√2/2,∴b-a=√2·√(a²+b²).
∵√2·√(a²+b²)>0,∴b>a且b=-a.∴a=-b
∴f(x)=﹣bsinx﹣bcosx=﹣b(sinx+cosx)=﹣b√2(√2/2sinx+√2/2cosx)=﹣b√2sin(x+π/4
∴f(x)=﹣√2 ·bsin(x+π/4).
∴f(3π/4-x)=﹣√2bsin(3π/4-x+π/4)
=﹣√2bsin(π-x)
=﹣√2sinx.
∵y=sinx为奇函数,而f(3π/4-x)的奇偶性就决定于sinx,
∴函数f(3π/4)是奇函数,
当x=π时,f(3π/4-x)=﹣√2sinx=0
∴关于点(π,0)对称.
所以D为正确答案.