作业帮一道高中数学几何题（急）（追加200分）对于任意三角形,如图如何证明ef是平行于bc的O是中线ad上任意一点
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 03:35:31
一道高中数学几何题（急）（追加200分）对于任意三角形,如图如何证明ef是平行于bc的O是中线ad上任意一点
一道高中数学几何题（急）（追加200分）
对于任意三角形,如图如何证明ef是平行于bc的
O是中线ad上任意一点
一道高中数学几何题（急）（追加200分）对于任意三角形,如图如何证明ef是平行于bc的O是中线ad上任意一点
证明：如图所示,延长AD至H,使DH=DG,连接BH、CH
由于D是BC中点,又是GH中点,因此,四边形CGBH为平行四边形
于是有：GF‖BH,则AF/FB=AG/GH；GE‖CH,则AE/EC=AG/GH
所以,AE/EC=AG/GH=AF/FB
因此,EF‖BC
希望把题目补充完整。
条件
没条件啊
纯平面几何的方法不会，下面引入一个比较巧妙的方法，这需要你有一定的解析几何的知识！
以CB为x轴，D点为原点建立直角坐标系，设A、B、C的坐标为(s,t),(r,0),(-r,0)
很显然中线AD的方程可以用y=tx/s来描述，取AD上任一点O(a,ta/s)
那么BO的方程可以求出，BO:y=atx/sk(a-r)-atr/sk(a-r)
同理可求出CO的方程为y...
全部展开
纯平面几何的方法不会，下面引入一个比较巧妙的方法，这需要你有一定的解析几何的知识！
以CB为x轴，D点为原点建立直角坐标系，设A、B、C的坐标为(s,t),(r,0),(-r,0)
很显然中线AD的方程可以用y=tx/s来描述，取AD上任一点O(a,ta/s)
那么BO的方程可以求出，BO:y=atx/sk(a-r)-atr/sk(a-r)
同理可求出CO的方程为y=atx/sk(a+r)+atr/sk(a+r)
由于A、B、C的坐标可以很轻松的求出AB、AC的方程分别为
AB:y=tx/(s-r)-tr/(s-r)
AC:y=tx/(s+r)+tr/(s+r)
联列BO、AC的方程即可解出E点的纵坐标，解得如下：
Ye=(-atr-ar)/(ask-rsk-as-ar)
同理解得F点的纵坐标为
Yf=(ar+atr)/(ask+rsk-as+ar)
要使得EF平行于BC，就必须使得Ye=Yf
很显然此处的Ye、Yf是不相等的，而且分别是a的函数
可见平行与否取决于a的值，也就是取决于O的位置
故而不能证明它们总是平行！
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赛瓦定理：(AE/EC)*(CD/DB)*(BF/AF)=1
而CD/DB=1
所以AE/EC=AF/FB
即EF平行于BC
赛瓦定理：若DEF分别在AB\BC\CA上，且AE\BF\CD共点，则：(AD/DB)*(BE/EC)*(CF/AF)=1
条件？
CD/DB=S△ACD/S△ABD=S△0CD/S△0BD=(S△ACD-S△0CD)/(S△ABD-S△OBD)=S△ACO/S△ABO
同理，BF/FA=S△CB0/S△AC0
AE/EC=S△ABO/S△CBO
三式相乘：(CD/DB)*(BF/FA)*(AE/EC)=1
又D是BC的中点，所以，CD/DB=1
所以，(BF/FA)*(AE/EC)=1...
全部展开
CD/DB=S△ACD/S△ABD=S△0CD/S△0BD=(S△ACD-S△0CD)/(S△ABD-S△OBD)=S△ACO/S△ABO
同理，BF/FA=S△CB0/S△AC0
AE/EC=S△ABO/S△CBO
三式相乘：(CD/DB)*(BF/FA)*(AE/EC)=1
又D是BC的中点，所以，CD/DB=1
所以，(BF/FA)*(AE/EC)=1
即AE/EC=AF/FB
所以，EF‖BC（平行线截线段成比例）
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