作业帮两个自然数的和是99,他们的最大公因数和最小公倍数的和是231,那么这两个数为（）（）
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 06:44:06
两个自然数的和是99,他们的最大公因数和最小公倍数的和是231,那么这两个数为（）（）
两个自然数的和是99,他们的最大公因数和最小公倍数的和是231,那么这两个数为（）（）
两个自然数的和是99,他们的最大公因数和最小公倍数的和是231,那么这两个数为（）（）
x+y=99
x=kx1,y=ky1,k是最大公因数
m=h1x=h2y,h是最小公倍数
kx1+ky1=99=3*3*11,k(x1+y1)=3*3*11
k+m=231,k+h1kx1=231,k(1+h1x1)=231=11*3*7
比较知：k=3或11或33
如果k=3,m=228=3*4*19,不符合题意.
如果k=11,m=220=4*5*11,解得x=44,y=55
如果k=33,m=198=2*3*3*11,不符合题意.
两个数分别为44,55
设这两个自然数为x, y. 由已知, x+y=99=3^2*11, (x, y)+[x, y]=231=3*7*11, 则
min(x, y)<50, (x, y)|33, i.e. (x, y)=1, 3, 11, 33.
若(x, y)=1, 则[x,y]=xy=230=2*5*23, 不可能.
若(x, y)=3, 不妨设x=3a, y=3b, 则(a, b)...
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设这两个自然数为x, y. 由已知, x+y=99=3^2*11, (x, y)+[x, y]=231=3*7*11, 则
min(x, y)<50, (x, y)|33, i.e. (x, y)=1, 3, 11, 33.
若(x, y)=1, 则[x,y]=xy=230=2*5*23, 不可能.
若(x, y)=3, 不妨设x=3a, y=3b, 则(a, b)=1, a+b=33, [x,y]=xy/(x,y)=3ab=2^2*3*19或,ab=2^2*19 , 也不可能.
若(x, y)=11, 令x=11a, y=11b, 同理可得(a, b)=1, a+b=9, ab=2^2*5 , 推出a=4, b=5, i.e. x=44, y=55.
若(x, y)=33, 设x=11a, y=11b, 同理可得(a, b)=1, a+b=3, ab=2*3 , 无解.
所以这两个自然数为44和55.
收起
分别是44和45