作业帮若a,b,c为实数,且a平方+2*b的平方+3*c的平方=6,则a+b+c的最小值是多少?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 22:23:32
若a,b,c为实数,且a平方+2*b的平方+3*c的平方=6,则a+b+c的最小值是多少?
若a,b,c为实数,且a平方+2*b的平方+3*c的平方=6,则a+b+c的最小值是多少?
若a,b,c为实数,且a平方+2*b的平方+3*c的平方=6,则a+b+c的最小值是多少?
a+b+c=a+(1/根号2)*根号2*b+(1/根号3)*根号3*c
a+b+c的平方<=(1+1/2+1/3)(a平方+2*b的平方+3*c的平方)=11
(柯西不等式,不知道楼主知道不...)
所以最小值为根号11
最小值时a=根号2*b=根号3*c
柯西不等式：(ax+by+cz)平方<=(a平方+b平方+c平方)(x平方+y平方+z平方)
如果楼主不知道上面公式,可以自己证明一下,不麻烦的
易得1/6a^2+1/3b^2+1/2b^2=1.设a=根号6cos??.b=根号3sin??cos§.c=根号2sin??sin§.那么a+b+c=根号6cos??+ sin??(根号3cos§+根号2sin§),min= -根号(6+(根号3cos§+根号2sin§)^2),后面最大值为5，所以答案-根号11
用柯西不等式 解决 高中数学选修不等式选讲就有
设关于x的2次函数
f(x)=(ax-1)^2+(√2bx-1/√2)^2+(√3cx-1/√3)^2≥0,
f(x)=(a^2*x^2-2ax+1)+(2b^2*x^2-2bx+1/2)+(3c^2*x^2-2cx+1/3)≥0,
f(x)=(a^2+2b^2+3c^2)*x^2-2(a+b+c)x+(1+1/2+1/3)≥0,
这是一个关于x的2次函数,由它的值...
全部展开
设关于x的2次函数
f(x)=(ax-1)^2+(√2bx-1/√2)^2+(√3cx-1/√3)^2≥0,
f(x)=(a^2*x^2-2ax+1)+(2b^2*x^2-2bx+1/2)+(3c^2*x^2-2cx+1/3)≥0,
f(x)=(a^2+2b^2+3c^2)*x^2-2(a+b+c)x+(1+1/2+1/3)≥0,
这是一个关于x的2次函数,由它的值恒大于等于零,则判别式小于等于零,故得
(-2(a+b+c))^2-4(a^2+2b^2+3c^2)*(1+1/2+1/3)≤0,
(a+b+c)^2≤(1+1/2+1/3)(a^2+2b^2+3c^2)
由a^2+2b^2+3c^2=6,得
(a+b+c)^2≤(1+1/2+1/3)*6=11
a+b+c≤√11
由上面可知,x=1/a=1/√2b=1/√3c时,上式所有式均可取得等号,故a+b+c的最小值是√11.
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