求证:定义域为R的任意函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/22 00:08:36
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求证:定义域为R的任意函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和
求证:定义域为R的任意函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和
求证:定义域为R的任意函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和
证明:假设定义域为R的函数f(x)可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)的和∴
∴f(x)=g(x)+h(x).①
f(-x)=g(-x)+h(-x)
又g(-x)=-g(x),h(-x)=h(x)
∴f(-x)=-g(x)+h(x).②
由①②知,h(x)=[f(x)+f(-x)]/2,g(x)=[f(x)-f(-x)]/2
检验:h(-x)=[f(-x)+f(x)]/2=h(x)
g(x)=[f(-x)-f(x)]/2=-g(-x)
∴定义域为R的函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)的和
,且h(x)=[f(x)+f(-x)]/2,g(x)=[f(x)-f(-x)]/2
题目应该有问题,一个偶函数和一个奇函数乘积还是一个奇函数,而f(x)是任意一个函数,它可以为奇函数也可以为偶函数,因此有错误。
如果改为表示成一个偶函数和一个奇函数的和的形式,则可以表示如下:
f(x)=(f(x)-f(-x))/2+(f(x)+f(-x))/2;
其中(f(x)-f(-x))/2是奇函数,(f(x)+f(-x))/2为偶函数。
请采纳答案,支持我一...
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题目应该有问题,一个偶函数和一个奇函数乘积还是一个奇函数,而f(x)是任意一个函数,它可以为奇函数也可以为偶函数,因此有错误。
如果改为表示成一个偶函数和一个奇函数的和的形式,则可以表示如下:
f(x)=(f(x)-f(-x))/2+(f(x)+f(-x))/2;
其中(f(x)-f(-x))/2是奇函数,(f(x)+f(-x))/2为偶函数。
请采纳答案,支持我一下。
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