已知双曲线以坐标轴为对称轴,焦点在Y轴上,它的半实轴长为sinx(是锐角),且双曲线上一动点P(x,y)到定点M(1,0)的最短距离为1/sinx,求x的变化范围.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/19 01:02:40
![已知双曲线以坐标轴为对称轴,焦点在Y轴上,它的半实轴长为sinx(是锐角),且双曲线上一动点P(x,y)到定点M(1,0)的最短距离为1/sinx,求x的变化范围.](/uploads/image/z/4515443-35-3.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E7%BA%BF%E4%BB%A5%E5%9D%90%E6%A0%87%E8%BD%B4%E4%B8%BA%E5%AF%B9%E7%A7%B0%E8%BD%B4%2C%E7%84%A6%E7%82%B9%E5%9C%A8Y%E8%BD%B4%E4%B8%8A%2C%E5%AE%83%E7%9A%84%E5%8D%8A%E5%AE%9E%E8%BD%B4%E9%95%BF%E4%B8%BAsinx%EF%BC%88%E6%98%AF%E9%94%90%E8%A7%92%EF%BC%89%2C%E4%B8%94%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E7%BA%BF%E4%B8%8A%E4%B8%80%E5%8A%A8%E7%82%B9P%EF%BC%88x%2Cy%29%E5%88%B0%E5%AE%9A%E7%82%B9M%EF%BC%881%2C0%EF%BC%89%E7%9A%84%E6%9C%80%E7%9F%AD%E8%B7%9D%E7%A6%BB%E4%B8%BA1%2Fsinx%2C%E6%B1%82x%E7%9A%84%E5%8F%98%E5%8C%96%E8%8C%83%E5%9B%B4.)
已知双曲线以坐标轴为对称轴,焦点在Y轴上,它的半实轴长为sinx(是锐角),且双曲线上一动点P(x,y)到定点M(1,0)的最短距离为1/sinx,求x的变化范围.
已知双曲线以坐标轴为对称轴,焦点在Y轴上,它的半实轴长为sinx(是锐角),且双曲线上一动点P(x,y)到定点M(1,0)的最短距离为1/sinx,求x的变化范围.
已知双曲线以坐标轴为对称轴,焦点在Y轴上,它的半实轴长为sinx(是锐角),且双曲线上一动点P(x,y)到定点M(1,0)的最短距离为1/sinx,求x的变化范围.
【1】可设双曲线方程为:(y²/a²)-(x ²/b ²)=1.(a,b>0).
∴y ²=(a ²/b ²)x ²+a ².
由“两点间距离公式”可得:
|PM| ²=(x-1) ²+y ²
=(c ²/b ²)x ²-2x+a ²+1
=(c ²/b ²)[x-(b ²/c ²)]²+[a ²(c ²+1)/c ²] ≥a ²(c ²+1)/c ².
等号仅当x=b ²/c ²时取得.∴|PM|min=(a/c) √(c ²+1).
由题设可知,a=sint,|PM|min=1/sint..
∴(a/c) √(c ²+1)=1/a.即:a ²=c/√(1+c ²).
【2】易知,a ²<c ².∴c√(1+c ²) >1.
∴[c ²+(1/2)] ²>5/4.
∴c ²>(√5-1)/2.
∴0<1/c ²<(1+√5)/2.
∴1<√[1+1/c ²] <(√5+1)/2.
即1<1/a ²<(√5+1)/2.
∴-1<1-2a ²<2-√5.
∵a=sint.∴-1<cos2t<2-√5.
∴√5-2<cos(π-2t) <1.
∵0<t<π/2.∴0<π-2t<π.
∴0<π-2t<arccos(√5-2).
∴[π-arccos(√5-2)]/2<t<π/2.