初三数学 圆 题目不会 有图如图,圆O的直径为AB,过AB上任意一点G作弦CE垂直AB,在弧EB上取一点D,分别做直线CD,ED,且分别交直线AB于点F,M.试判断:此时是否有三角形FDM相似于三角形COM?证明你的结
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/24 07:31:19
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初三数学 圆 题目不会 有图如图,圆O的直径为AB,过AB上任意一点G作弦CE垂直AB,在弧EB上取一点D,分别做直线CD,ED,且分别交直线AB于点F,M.试判断:此时是否有三角形FDM相似于三角形COM?证明你的结
初三数学 圆 题目不会 有图
如图,圆O的直径为AB,过AB上任意一点G作弦CE垂直AB,在弧EB上取一点D,分别做直线CD,ED,且分别交直线AB于点F,M.试判断:此时是否有三角形FDM相似于三角形COM?证明你的结论.
初三数学 圆 题目不会 有图如图,圆O的直径为AB,过AB上任意一点G作弦CE垂直AB,在弧EB上取一点D,分别做直线CD,ED,且分别交直线AB于点F,M.试判断:此时是否有三角形FDM相似于三角形COM?证明你的结
如图1,⊙O的直径为AB,过半径OA的中点G作弦CE⊥AB,在弧CB上取一点D,分别作直线PA、ED,交直线AB于点F、M.
(1)求∠COA和∠FDM的度数;
(2)求证:△FDM∽△COM;
(3)如图2,若将垂足G改取为半径OB上任意一点,点D改取在弧EB上,仍作直线PA、ED,分别交直线AB于点F、M.试判断:此时是否仍有△FDM∽△COM证明你的结论.
分析:(1)由于CG⊥OA,根据垂径定理可得出,弧CA=弧AE,那么根据圆周角定理可得出∠CDE=∠COA,在Rt△AOC中,可根据OG是半径的一半得出∠AOC是60°,那么就能得出∠FDM=180°-∠CDE=120°
(2)在(1)中我们根据垂径定理得出OA是CE的垂直平分线,那么△CMG和△BMG就应该全等,可得出∠CMA=∠EMG,也就可得出∠CMO=∠FMD,在(1)中已经证得∠AOC=∠EDC=60°,那么∠COM=∠MDF,因此两三角形就相似.
(3)可按(2)的方法得出∠DMF=∠CMO,关键是再找出一组对应角相等,还是用垂径定理来求,根据垂径定理我们可得出弧AC=弧AE,那么∠AOC=∠EDC,根据等角的余角相等即可得出∠COM=∠FDM,由此可证出两三角形相似.
(1)∵AB为直径,CE⊥AB
∴弧AC=弧AE,CG=EG
在Rt△COG中,
∵OG= 1/2OC,
∴∠OCG=30°,
∴∠COA=60°,
又∵∠CDE的度数= 1/2弧CAE的度数=弧AC^的度数=∠COA的度数=60°
∴∠FDM=180°-∠CDE=120°.
(2)证明:∵∠COM=180°-∠COA=120°,
∴∠COM=∠FDM
在Rt△CGM和Rt△EGM中,
{GM=GM,CG=EG
∴Rt△CGM≌Rt△EGM(HL)
∴∠GMC=∠GME
又∵∠DMF=∠GME,
∴△FDM∽△COM.
结论仍成立.
∵∠EDC的度数= 1/2弧CAE的度数=弧CA的度数=∠COA的度数,
∴∠FDM=180°-∠COA=∠COM
∵AB为直径,
∴CE⊥AB,
在Rt△CGM和Rt△EGM中,
{GM=GM,CG=EG
∴Rt△CGM≌Rt△EGM(HL)
∴∠GMC=∠GME
∴△FDM∽△COM.