一道椭圆的证明题椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的两个顶点A1(-a,0) A2(a,0)与y轴平行的直线交椭圆于P1P2时A1P1 与A2P2交点的轨迹方程是x^2/a^2-y^2/b^2=1
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/21 16:42:28
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一道椭圆的证明题椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的两个顶点A1(-a,0) A2(a,0)与y轴平行的直线交椭圆于P1P2时A1P1 与A2P2交点的轨迹方程是x^2/a^2-y^2/b^2=1
一道椭圆的证明题
椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的两个顶点A1(-a,0) A2(a,0)与y轴平行的直线交椭圆于P1P2时A1P1 与A2P2交点的轨迹方程是x^2/a^2-y^2/b^2=1
一道椭圆的证明题椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的两个顶点A1(-a,0) A2(a,0)与y轴平行的直线交椭圆于P1P2时A1P1 与A2P2交点的轨迹方程是x^2/a^2-y^2/b^2=1
设P1、P2点的坐标分别为(x1,y1)和(x1,-y1),A1P1 的直线方程为:y=y1x/(x1+a)+ay1/(x1+a),A2P2的直线方程为:y=-y1x/(x1-a)+ay1/(x1-a),解得:y1=ay/x,x1=a²/x,代入x²/a²+y²/b²=1得:x²/a²-+y²/b²=1.
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设P1(m,n),则P2(m,-n),设A1P1 与A2P2交点M(x,y)
由于A,P1,M共线,得 (y-0)/(n-0)=(x+a)/(m+a),即
(x+a)n=(m+a)y (1)
由于B,P2,M共线,得 (y-0)/(-n-0)=(x-a)/(m-a),即
(x-a)n=(a-m)y ...
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设P1(m,n),则P2(m,-n),设A1P1 与A2P2交点M(x,y)
由于A,P1,M共线,得 (y-0)/(n-0)=(x+a)/(m+a),即
(x+a)n=(m+a)y (1)
由于B,P2,M共线,得 (y-0)/(-n-0)=(x-a)/(m-a),即
(x-a)n=(a-m)y (2)
(1)+(2),得2xn=2ay,n=ay/x
(1)-(2),得2an=2my,m/a=n/y=a/x
又P1在椭圆上,有 m²/a²+n²/b²=1,
所以 a²/x²+a²y²/x²b²=1
a²+a²y²/b²=x²,1+y²/b²=x²/a²
所以轨迹方程是 x²/a²-y²/b²=1
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