作业帮三角形重心证明（详细）
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 17:57:41
三角形重心证明（详细）
三角形重心证明（详细）
三角形重心证明（详细）
重心是三角形三边中线的交点,三线交一点可用燕尾定理证明,十分简单.证明过程又是塞瓦定理的特例.
已知：△ABC中,D为BC中点,E为AC中点,AD与BE交于O,CO延长线交AB于F.
求证：F为AB中点. 三角形重心
证明：根据燕尾定理,S△AOB=S△AOC,又S△AOB=S△BOC,∴S△AOC=S△BOC,再应用燕尾定理即得AF=BF,命题得证.
重心的几条性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小.
4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均,即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3
5、重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分. 证明：刚才证明三线交一时已证.
6、重心是三角形内到三边距离之积最大的点.
三角形的重心是三角形三条中线的交点。 三角形的三条中线必交于一点 已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连结并延长BO，交AC于点E。 三角形的三条中线必交于一点 求证：AE=CE 证明：延长OE到点G，使OG=OB ∵OG=OB,∴点O是BG的中点 又∵点D是BC的中点 ∴OD是△BGC的一条中位线 ∴AD∥CG ∵点O是BG的中点，点F是AB的中点 ∴OF是△BGA的一条中位线 ∴CF∥AG ∵AD∥CG，CF∥AG,∴四边形AOCG是平行四边形 ∴AC、OG互相平分,∴AE=CE
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