作业帮【高中数学】圆x2+y2-2x+4y+1=0上任意点P(x,y)中x2+y2的最大值是———?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 02:00:02
【高中数学】圆x2+y2-2x+4y+1=0上任意点P(x,y)中x2+y2的最大值是———?
【高中数学】圆x2+y2-2x+4y+1=0上任意点P(x,y)中x2+y2的最大值是———?
【高中数学】圆x2+y2-2x+4y+1=0上任意点P(x,y)中x2+y2的最大值是———?
x²+y²=（x-0）²+（y-0）²
（这个式子是否很熟悉呢?）
这将问题转化成了圆上某一点到原点（0,0）的最大距离.
该圆标准方程为（x-1）²+（y+2)²=4
则最大距离为原点到圆心距离加上半径
我算出是2+根号5
再平方是9+4根号5
(X-1)^2+(Y+2)^2=4,
圆心A(1，-2)，半径为2。
直线OA：Y=-2X，
P在OA与圆的交点上，
(X-1)^2+(-2X+2)^2=4，
(X-1)^2=4/5
X=1±2√5/5，
∴P(1+2√5/5，-2-4√5/5)。
x2+y2-2x+4y+1=0
即 (x-1)^2 + (y+2)^2 =4
即这是圆心为(1,-2)，半径为2的圆
所以x的取值是[-1,3] ,y的取值是[-4,0]
在圆上的点x2+y2= 2x-4y-1
当x=1,y=-4时，2x-4y-1值最大
为2+16-1=17
最大值为17
x²+y²-2x+4y+1=0
x²+y²-2x+1+4y+4=4
(x-1)²+(y+2)²=4
x=1+2cost
y=-2+2sint
x²+y²
=1+4cos²t+4cost+4+4sin²t-8sint
=5+4+4cost-8sint
=9-4(2sint-cost)
=9-4√5sin(t+a)
∴max=9+4√5
x2+y2-2x+4y+1=(x-1)2+(y+2)2-4=0即(x-1)2+(y+2)2=4 此方程为以（1，-2）为圆心2为半径的圆
结合几何图形可知，x2+y2的最大值为（0,0）与（1，-2）的连线延长线与圆交点的长度的平方，即x2+y2的最大值为（√5+2）的平方，即9+4√5
还有其他疑问，请咨询
先换成一般式吧
很好做的
x2+y2-2x+4y+1=0
(x-1)2+(y+2)2=4
表示以C（1，－2）为圆心，半径为2的圆C。
x2+y2的意义：表示圆C上的点，到坐标原点O（0，0）的距离的平方。
你画出圆C，连接C、O，并延长CO交圆于A
不难看出，A点即C上到到坐标原点O（0，0）的距离最大的点。
OA的平方即为所求。
OC＝√5，OA＝2+√5
全部展开
x2+y2-2x+4y+1=0
(x-1)2+(y+2)2=4
表示以C（1，－2）为圆心，半径为2的圆C。
x2+y2的意义：表示圆C上的点，到坐标原点O（0，0）的距离的平方。
你画出圆C，连接C、O，并延长CO交圆于A
不难看出，A点即C上到到坐标原点O（0，0）的距离最大的点。
OA的平方即为所求。
OC＝√5，OA＝2+√5
OA的平方＝9+4√5【即为所求】OK！
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x2+y2-2x+4y+1=0
(x-1)²+(y+2)²=4
(y+2)²=4-(x-1)²
y=-2±√(4-(x-1)²)
x2+y2-2x+4y+1=0
x²+y²=2x-4y-1
=2x-4(-2±√(4-(x-1)²))-1
=2x+7±4√(4-(x...
全部展开
x2+y2-2x+4y+1=0
(x-1)²+(y+2)²=4
(y+2)²=4-(x-1)²
y=-2±√(4-(x-1)²)
x2+y2-2x+4y+1=0
x²+y²=2x-4y-1
=2x-4(-2±√(4-(x-1)²))-1
=2x+7±4√(4-(x-1)²)
设z=x²+y²=2x+7±4√(4-(x-1)²)
z'=2±2/√(4-(x-1)²)*2(x-1)=0
±√(4-(x-1)²=2x-2
4-(x-1)²=4x²-8x+4
-x²+2x-1=4x²-8x
5x²-10x=-1
(x-1)²=-1/5+1
x-1=±2√5/5
x=1±2√5/5
x取正号时，z有极大值
极大值z=2(1+2√5/5)+7±4√(4-((1+2√5/5)-1)²)
=2+4√5/5+7±4√(4-(1+4/5))
=9+4√5/5±4√55/5
=9+4√5/5(1±√11)
z取正号时，z有最大值，即x²+y²有最大值：9+4√5/5(1±√11)
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