设a,b∈R,且a+b=3,求 2^a+2^b的最小值

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/06 16:57:17
设a,b∈R,且a+b=3,求 2^a+2^b的最小值

设a,b∈R,且a+b=3,求 2^a+2^b的最小值
设a,b∈R,且a+b=3,求 2^a+2^b的最小值

设a,b∈R,且a+b=3,求 2^a+2^b的最小值
因为a+b=3,所以:b=3-a,代入得到:
2^a+2^b
=2^a+2^(3-a)
=2^a + 2^3/2^a 应用不等式a+b>=2√ab可得到:
2^a+2^b>=2√[2^a*(2^3/2^a)]=4√2;
取到等号的条件是:
2^a=2^3/2^a,即:a=3/2,在题目条件下,可以达到,所以最小值是4√2.

根据均值不等式 2^a+2^b大于等于 2*(2^a*2^b)=2*根号下2^(a+b)=16
答案是
4倍根号2