问道几何题!已知在△ABC中,BC边上的中垂线DE交∠BAC的平分线于点E,作EM⊥AC,交AC的延长线于点M,求证:AB=AC+2CM(提示:连EB、EC,作EF⊥AB于F点)(注:提示所作的辅助线在图中已用红线表示!)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/23 23:14:15
![问道几何题!已知在△ABC中,BC边上的中垂线DE交∠BAC的平分线于点E,作EM⊥AC,交AC的延长线于点M,求证:AB=AC+2CM(提示:连EB、EC,作EF⊥AB于F点)(注:提示所作的辅助线在图中已用红线表示!)](/uploads/image/z/531822-30-2.jpg?t=%E9%97%AE%E9%81%93%E5%87%A0%E4%BD%95%E9%A2%98%21%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%9C%A8%E2%96%B3ABC%E4%B8%AD%2CBC%E8%BE%B9%E4%B8%8A%E7%9A%84%E4%B8%AD%E5%9E%82%E7%BA%BFDE%E4%BA%A4%E2%88%A0BAC%E7%9A%84%E5%B9%B3%E5%88%86%E7%BA%BF%E4%BA%8E%E7%82%B9E%2C%E4%BD%9CEM%E2%8A%A5AC%2C%E4%BA%A4AC%E7%9A%84%E5%BB%B6%E9%95%BF%E7%BA%BF%E4%BA%8E%E7%82%B9M%2C%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9AAB%3DAC%2B2CM%EF%BC%88%E6%8F%90%E7%A4%BA%EF%BC%9A%E8%BF%9EEB%E3%80%81EC%2C%E4%BD%9CEF%E2%8A%A5AB%E4%BA%8EF%E7%82%B9%EF%BC%89%EF%BC%88%E6%B3%A8%EF%BC%9A%E6%8F%90%E7%A4%BA%E6%89%80%E4%BD%9C%E7%9A%84%E8%BE%85%E5%8A%A9%E7%BA%BF%E5%9C%A8%E5%9B%BE%E4%B8%AD%E5%B7%B2%E7%94%A8%E7%BA%A2%E7%BA%BF%E8%A1%A8%E7%A4%BA%21%EF%BC%89)
问道几何题!已知在△ABC中,BC边上的中垂线DE交∠BAC的平分线于点E,作EM⊥AC,交AC的延长线于点M,求证:AB=AC+2CM(提示:连EB、EC,作EF⊥AB于F点)(注:提示所作的辅助线在图中已用红线表示!)
问道几何题!
已知在△ABC中,BC边上的中垂线DE交∠BAC的平分线于点E,作EM⊥AC,交AC的延长线于点M,求证:AB=AC+2CM
(提示:连EB、EC,作EF⊥AB于F点)
(注:提示所作的辅助线在图中已用红线表示!)
问道几何题!已知在△ABC中,BC边上的中垂线DE交∠BAC的平分线于点E,作EM⊥AC,交AC的延长线于点M,求证:AB=AC+2CM(提示:连EB、EC,作EF⊥AB于F点)(注:提示所作的辅助线在图中已用红线表示!)
连EB、EC,作EF⊥AB于F点
∵EM⊥AC EF⊥AB
∴∠EFB=∠EMC=90°
∵AE是∠BAC的平分线
EM⊥AC EF⊥AB
∴EM=EF AF=AM
又DE是BC边上的中垂线
∴BE=EC
在Rt△BEF与Rt△CEM中
EM=EF
BE=EC
∴Rt△BEF≌Rt△CEM
∴BF=CM
∵AB=BF+FA
BF=CM
FA=AM
AM=AC+CM
∴AB=CM+AM=CM+AC+CM
即AB=AC+2CM
因为AE是∠BAC的平分线,且EF⊥AB,EM⊥AC,AE公共
所以△FEA全等于△CEA
所以AF=AM,FE=EC
因为DE是BC边上的中垂线
所以BE=EC
所以△BEF全等于△MEC
所以BF=CM
所以AB=AF+BF=AM+CM=AC+CM+CM=AC+2CM
过E到AB的垂线交AB于F
因为AE是角平分线,且EF,EM为角两边的垂线
所以EF=EM
角EFB=角EMA=90°
因为ED是BC边中垂线
所以BE=EC
证出BEF和ECM是全等三角形
所以BF=CM
所以AB=AF+BF=AM+CM=AC+2CM
得证
(有个小问题,题目要说明AB边长于AC边,这里有点小不严谨...
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过E到AB的垂线交AB于F
因为AE是角平分线,且EF,EM为角两边的垂线
所以EF=EM
角EFB=角EMA=90°
因为ED是BC边中垂线
所以BE=EC
证出BEF和ECM是全等三角形
所以BF=CM
所以AB=AF+BF=AM+CM=AC+2CM
得证
(有个小问题,题目要说明AB边长于AC边,这里有点小不严谨)
收起
AE为∠BAC的平分线
∠BAE=∠CAE,且∠EFA=∠CAE,AE为公共边
△AEF≌△AEC(AAS)
∴EF=EC
∵DE为BC上的中垂线
∴BE=CE
∵∠BFE=∠EMC=90度
∴△BEF≌△MEC(HL)
∴BF=MC ∵AF=AM
∴AF+FB=AM+MC 即AB=AC+2CM
要证明AB=AC+2CM,即证明AF+FB=AC+CM+CM=AM+AC,即CM=BF,因为AE为角BAM的角平分线,EF、EM分别垂直于AB、AM,所以EF=EM,又因为ED为BC的中垂线,所以EB=EC,已求出EF=EM、EB=BC,角BFE、角EMC为直角,所以CM=BF,得证。
作AB⊥EH交AB于H,因为AE为∠BAC的角平分线,所以AH=AM 因为EH⊥AB EM⊥AC BE=EC 所以ΔBHE≌ΔECM 所以BH=CM 所以AB=AH+HB=AM+CM=AC+CM+CM=AC+2CM