arctanx/x^2 的广义积分,上限正无穷,下限为1

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/30 02:32:45

arctanx/x^2 的广义积分,上限正无穷,下限为1
arctanx/x^2 的广义积分,上限正无穷,下限为1

arctanx/x^2 的广义积分,上限正无穷,下限为1
先求原函数分部积分
∫arctanx/x^2dx = - ∫ arctanx d1/x
= - (1/x) arctanx + ∫ dx / [x(1+x^2)]
= - (1/x) arctanx + ∫x / [x^2(1+x^2)] dx
= - (1/x) arctanx +1/2 ∫ 1/ [x^2(1+x^2)] dx^2
= - (1/x) arctanx +1/2 ∫ 1/ x^2 - 1/ (1+x^2) dx^2
= - (1/x) arctanx +1/2 ln x^2 /(1+x^2) +c
取原函数F（x）= - (1/x) arctanx +1/2 ln x^2 /(1+x^2)
x→+∞ limF(x)=lim - (1/x) arctanx +1/2 ln x^2 /(1+x^2)=0+1/2ln1=0
F(1)=-π/4 -1/2 ln2 ,所以最后的广义积分收敛值为 π/4 +1/2 ln2

令u=arctanx x=tanu dx=(secu)^2 du
原式=∫(π/4,π/2) u*(ctgu)^2*(secu)^2 du
=∫(π/4,π/2) u*(cscu)^2 du
=-∫(π/4,π/2) u d(ctgu)
=-u*ctgu|(π/4,π/2)+∫(π/4,π/2) ctgu du
=[-u*ctgu+ln|sinu|]|(π/4,π/2)
=0-0-ln(根号2/2)+π/4
=π/4+1/2*ln2

这谁知道啊、、 ×

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