作业帮已知函数f(x)是定义在R上不恒为零的函数,对于任意的x.y∈R都有f(x·y)=xf(y)+yf(x),列an满足an=f(2^n)已知函数f(x)是定义在R上不恒为零的函数,对于任意的x.y∈R都有f(x·y)=xf(y)+yf(x),数列an满足an=f(2^n)(n
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 06:43:43
已知函数f(x)是定义在R上不恒为零的函数,对于任意的x.y∈R都有f(x·y)=xf(y)+yf(x),列an满足an=f(2^n)已知函数f(x)是定义在R上不恒为零的函数,对于任意的x.y∈R都有f(x·y)=xf(y)+yf(x),数列an满足an=f(2^n)(n
已知函数f(x)是定义在R上不恒为零的函数,对于任意的x.y∈R都有f(x·y)=xf(y)+yf(x),列an满足an=f(2^n)
已知函数f(x)是定义在R上不恒为零的函数,对于任意的x.y∈R都有f(x·y)=xf(y)+yf(x),数列an满足an=f(2^n)(n∈n*),且a1=2,求数列的通项公式
答案是an=(2^n)n,
已知函数f(x)是定义在R上不恒为零的函数,对于任意的x.y∈R都有f(x·y)=xf(y)+yf(x),列an满足an=f(2^n)已知函数f(x)是定义在R上不恒为零的函数,对于任意的x.y∈R都有f(x·y)=xf(y)+yf(x),数列an满足an=f(2^n)(n
答：
对任意x,y属于实数R,都有：f(xy)=xf(y)+yf(x)
An=f(2^n),A1=f(2)=2
A(n+1)=f [2^(n+1)]=f [2*2^n]=2*f(2^n)+2^n*f(2)=2*An+2^(n+1)
两边同除以2^(n+1)：
A(n+1)/2^(n+1)=An/2^n+1
所以：An/2^n是公差为1的等差数列,首项为A1/2=2/2=1
所以：An/2^n=n
所以：An=n*2^n
a(n+1)=f(2^n+1)=f(2*2^n)=2f(2^n)+2^nf(2)=2an+2^(n+1)
an/2^n=n,所以an=n2^n,
a(n+1)
=f(2^n+1)
=f(2*2^n)
=2f(2^n)+2^nf(2)
=2an+2^(n+1)
故：a（n+1）/2^（n+1）-an/2a^n=1,
即an/2^(n)=n
所以an=n2^n,