证明 x^4+131=3y^4 没有(x,y)的整数解

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/12 03:40:05
证明 x^4+131=3y^4 没有(x,y)的整数解

证明 x^4+131=3y^4 没有(x,y)的整数解
证明 x^4+131=3y^4 没有(x,y)的整数解

证明 x^4+131=3y^4 没有(x,y)的整数解
考虑x^4被5除的余数:
(1)若x=0(mod5),则x^4=0(mod5);
(2)若x=1(mod5),则x^4=1^4=1(mod5);
(3)若x=2(mod5),则x^4=2^4=16=1(mod5);
(4)若x=3(mod5),则x^4=3^4=81=1(mod5);
(5)若x=4(mod5),则x^4=4^4=256=1(mod5).
所以对任意整数x,x^4被5除的余数必为0或1,而131被5除的余数是1,所以等式左边被5除的余数必为1或2.另一方面,对任意整数y,y^4被5除的余数必为0或1,所以等式右边被5除的余数必为0或3.两边不可能相等.证毕