已知一个四边形的四条边的长分别为a,b,c,d有一个角是直角,且a²+b²+c²+d²=ab+bc+cd+da 则此四边形是?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/22 02:05:45
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已知一个四边形的四条边的长分别为a,b,c,d有一个角是直角,且a²+b²+c²+d²=ab+bc+cd+da 则此四边形是?
已知一个四边形的四条边的长分别为a,b,c,d有一个角是直角,且a²+b²+c²+d²=ab+bc+cd+da 则此四边形是?
已知一个四边形的四条边的长分别为a,b,c,d有一个角是直角,且a²+b²+c²+d²=ab+bc+cd+da 则此四边形是?
∵a²+b²+c²+d²=ab+bc+cd+da
∴2(a²+b²+c²+d²)-2ab-2bc-2cd-2da=0
∴(a-b)²+(b-c)²+(c-d)²+(d-a)²=0
由非负数的性质可知:(a-b)=0,(b-c)=0,(c-d)=0,(a-d)=0
∴a=b=c=d
∴四边形为菱形.
菱形证明:ab+bc+cd+da-(a2+b2+c2+d2)
=-[2a2+2b2+2c2+2d2-2ab-2bc-2cd-2da]
=[(a-b)2+(b-c)2+(c-d)2+(d-a)2]≥0,
当且仅当a=b=c=d时,等号成立。
答:
a²+b²+c²+d²=ab+bc+cd+da
两边同时乘以2有:
2a²+2b²+2c²+2d²=2ab+2bc+2cd+2da
(a²-2ab+b²)+(a²-2da+d²)+(b²-2bc+c²)+(c²-...
全部展开
答:
a²+b²+c²+d²=ab+bc+cd+da
两边同时乘以2有:
2a²+2b²+2c²+2d²=2ab+2bc+2cd+2da
(a²-2ab+b²)+(a²-2da+d²)+(b²-2bc+c²)+(c²-2cd+d²)=0
所以:
(a-b)²+(a-d)²+(b-c)²+(c-d)²=0
所以:
a-b=0
a-d=0
b-c=0
c-d=0
解得:a=b=c=d
所以:四边形ABCD是菱形
因为:其中一个角是直角
所以:四边形ABCD是正方形
收起
因为a²+b²+c²+d²=ab+bc+cd+da
所以2a²+2b²+2c²+2d²=2ab+2bc+2cd+2da
所以(a-b)^2+(a-d)^2+(b-c)^2+(c-d)^2=0
那么a=b,a=d,b=c,c=d
所以a=b=c=d
且一个角度为直角,所以
正方形